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第2节导数与函数的单调性
[课程标准要求]
1结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系
2能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)
1函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y=f()在区间(a,b)上可导
f′()0
f()在区间(a,b)上单调递增
f′()0
f()在区间(a,b)上单调递减
f′()=0
f()在区间(a,b)上是常数函数
函数f()在区间(a,b)上单调递增,则f′()≥0,“f′()0在(a,b)上成立”是“f()在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件如f()=3在定义域上是增函数,但是其导数f′()=32≥0
2利用导数判断函数单调性的步骤
第1步,确定函数的定义域;
第2步,求出导数f′()的零点;
第3步,用f′()的零点将f()的定义域划分为若干个区间,列表给出f′()在各区间上的正负,由此得出函数y=f()在定义域内的单调性
1(多选题)(选择性必修第二册P86例2改编)如图是函数y=f()的导函数y=f′()的图象,则下列判断正确的是(B)
A在区间(-2,1)上f()单调递增
B在区间(2,3)上f()单调递减
在区间(4,5)上f()单调递增
D在区间(3,5)上f()单调递减
解析在区间(-2,1)上,当∈(-2,-32)时,f′()0,当∈(-32,1)时,f′()0,故f()在(-2,-32)上单调递减,在(-32,1)上单调递增,A错误;在区间(3,5)上,当∈(3,4)时,f′()0,当∈(4,5)时,f′()0,即f()在(3,4)上单调递减,在(4,5)上单调递增,D错误在(4,5)上f′()0,所以f()单调递增
2函数f()=122-ln
A(-1,1) B(0,1)
(1,+∞) D(0,2)
解析f()的定义域为(0,+∞),解不等式
f′()=-1x=(x
故函数f()=122-ln
3若函数f()=3+2+a-1是R上的单调函数,则实数a的取值范围是(A)
Aa≥13 Ba≤
a13 Da
解析f′()=32+2+a≥0恒成立,即Δ=4-12a≤0,解得a≥1
4若函数f()=ln+a2-2在区间(12
A(-∞,2] B(-18
(-2,-18) D
解析因为函数f()=ln+a2-2在区间(12,2)内存在单调递增区间,所以f′()=1x+2a0在区间(
即2a(-1x2)in在区间(
又函数y=2在(12
所以函数y=-1x2在(
故当=12时,y=-1
即(-1x2)
即2a-4,得a-2
5若函数f()=133-322+a+4的单调递减区间为[-1,4],则实数a的值为
解析由题意,得f′()=2-3+a,
又f()的单调递减区间为[-1,4],
所以f′()=2-3+a≤0的解集为[-1,4],
所以-1,4是方程f′()=0的两根,
则a=(-1)×4=-4
答案-4
不含参数的函数的单调性
1已知函数f()满足f()=f′(2)e-2-f(0)+122,则f(
A(-∞,0) B(1,+∞)
(-∞,1) D(0,+∞)
解析由题设f′()=f′(2)e-2-f(0)+,
则f′(2)=f′(2)-f(0)+2,可得f(0)=2,
即f(0)=f′(2)e-2=2,则f′(2)=2e2,
所以f()=2e-2+122
得f′()=2e-2+,
则f′(0)=0且f′()单调递增,
当0时,f′()0,即f()单调递减,
故f()单调递减区间为(-∞,0)
2(多选题)下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是(AB)
Af()=2-1x Bf()=
f()=3- Df()=-+ln
解析对于A,f′()=2+1x
对于B,函数f()=e的导函数f′()=e(+1),当∈(0,+∞)时,f′()0,所以函数f()=e在(0,+∞)上为增函数,故B正确;
对于,f′()=32-1,令f′()0,得33或-33,所以函数f()=3-在(-∞,-33)和(
对于D,f′()=-1+1x=-x-1x,令f′()0,得0
3函数f()=(-1)e-2的单调递增区间为,单调递减区间为?
解析f()的定义域为R,
f′()=e-2=(e-2),
令f′()=0,得=0或=ln2,
当变化时,f′(),f()的变化情况如表所示,
(-∞,0)
0
(0,ln2)
ln2
(ln2,+∞)
f′()
+
0
-
0
+
f()
单调递增
单调递减
单调递增
所以f()的单调递增区间为(-∞,0),(ln2,+∞),单调递减区间为(0,ln2)
答案(-∞,0),(ln2,+∞)(0,ln2)
求函数的单调区间的方法
(1)确定函数y=f()的定义
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