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函数级数的收敛与一致收敛

函数级数是一种特殊的级数，其中各项是函数而不是常数。函数级

数的收敛性是数学分析中的一个重要概念，它关注级数项函数的趋近

性和极限值。在函数级数的研究中，有一个重要性质被广泛应用，那

就是一致收敛。

一、函数级数的收敛

设给定一个函数序列{f_n(x)}，其中n为自然数索引，x为变量。函

数级数可以表示为：

S(x)=f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)+...

函数级数的收敛性指的是这个级数在某个区域内的所有点上是否存

在合适的极限值。具体来说，对于任意给定的x，若序列{S_n(x)}收敛，

则函数级数S(x)在该点收敛。

注意，函数级数的收敛性与其部分和数列的收敛性密切相关。我们

可以通过研究函数序列{S_n(x)}，来判断函数级数的收敛性。当然，也

有一些特殊的判别法则可供使用，如韦尔斯特拉斯判别法、柯西收敛

准则等。

二、函数级数的一致收敛

函数级数的一致收敛是一个更强的收敛性质。它要求函数序列

{S_n(x)}不仅在每个点上收敛，而且对于任意的x，这个序列的收敛速

度应相对较快。

具体来说，对于给定的函数级数S(x)和其部分和函数序列{S_n(x)}，

如果存在一个正数M，使得对于任意的n，都有|S(x)-S_n(x)|M，即

S(x)与S_n(x)之间的偏差始终能被M控制住，那么我们称函数级数S(x)

在该区域上一致收敛。

需要指出的是，函数级数的一致收敛性要求在整个定义域上成立，

而不仅仅是在某个子区域或某些特定点上。

三、一致收敛的性质与应用

一致收敛具有许多重要的性质和应用。下面介绍其中几个：

1.一致收敛级数在收敛区域上的极限函数是连续函数。

当函数级数S(x)在某个区域内一致收敛，那么其极限函数S(x)就是

一个连续函数。这个结果可以用来证明一些重要的定理，如威尔斯特

拉斯逼近定理等。

2.一致收敛级数可以逐项积分和逐项求导。

假设函数级数S(x)在某个区域内一致收敛，那么它可以逐项积分和

逐项求导得到的新级数仍然一致收敛，并且其极限函数仍然具有相同

的性质。

3.一致收敛级数可以逐项求和与逐项相乘。

如果函数级数S(x)和T(x)在某个区域内一致收敛，那么逐项求和或

逐项相乘得到的新级数也一致收敛，并且其极限函数具有相应的性质。

这个性质在数学分析中有广泛的应用，如级数展开、傅里叶级数等。

四、例子与证明

为了更好地理解函数级数的收敛性和一致收敛性，我们来看一个具

体例子：幂级数。

考虑幂级数S(x)=1+x+x^2+x^3+...=Σ(x^n)，其中|x|1。

我们要证明这个幂级数在区间(-1,1)上一致收敛，并且其极限函数为

1/(1-x)。

首先，我们可以计算其部分和函数序列{S_n(x)}，得到S_n(x)=1+

x+x^2+...+x^n=(x^(n+1)-1)/(x-1)。

接下来，我们需要证明S(x)=Σ(x^n)=1/(1-x)。为此，我们对

S_n(x)做极限变换，即n趋于无穷大时，S_n(x)趋于S(x)。这个证明过

程较为繁琐，需要运用数学分析中的极限运算和级数的性质【详细证

明略】。

综上所述，我们证明了在区间(-1,1)上，幂级数S(x)=1+x+x^2

+...=Σ(x^n)在该区间上一致收敛，并且其极限函数为1/(1-x)。

总结：

函数级数的收敛性是指级数在某个区域内的所有点上是否存在合适

的极限值，而一致收敛性要求函数序列在整个定义域上收敛且收敛速

度相对较快。

一致收敛的函数级数具有许多重要的性质和应用，如极限函数连续

性、逐项积分和逐项求导、逐项求和与逐项相乘等。

幂级数是函数级数的一个重要例子，通过具体例子的证明，我们可

以更好地理解函数级数的收敛性和一致收敛性。