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陕西省西安市铁一中学2023年初中元培少年班选拔考试题
(试题后附有材料原图)
填空题(1~3每小题5分,4~6每小题6分,第7小题7分,共40分)
(绝对值)|a|表示a的绝对值,如果是正数其值等于.如果是负数其值等于-a,如果是0则值为0,|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为_______。
(不定方程)方程2x+3y=100有_______组正整数解。
(鸡兔同笼)某玩具店购进飞机和汽车模型一共30个,其中每个飞机模型3个轮子,每个汽车模型4个轮子,这些玩具模型一共110个轮子,则飞机模型有______个。
(平均数)一些互不相同的正整数,最大的数记为N,这些数的平均数为100,其中有一个数是109.去掉109,则这些数的平均数变为99.则N是_________。
(加乘原理)从1到6中挑选两个数字,其中一个数字出现3次,-个数字出现2次,所能组成的五位数一共有________个。(如2个2,3个3可以组成22333,33223等数字)
(逻辑推理)19个白球和20个黑球任意排成一列,下面第_______句话一定正确:(即无论如何摆放都符合,都是0个也算一样多)
(1)存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多
(2)存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多
(3)存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个
(4)存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个
7.(排列组合)在1到14中最多选出______个数,使得取出的任意三个不同的数都不会出现两个数之和是另一个数的2倍。(如取出3,5,7,3+7=2x5所以3.5.7就不能都被选中)
二、解答题(共60分)
8.(7分)
(方程的应用)甲、乙两桶装了水,若将甲中的水倒2千克到乙中,则这时甲中的水是乙中的3倍,若将乙中的水倒1千克到甲中,此时甲中的水是乙的9倍,问原来甲、乙各有多少千克水?(8分)
(位值原理)一个两位数,十位数字和个位数字交换后,得到一个新的两位数,这两个两位数的差刚好是小明年龄的4倍,请问小明可能多少岁?(岁数都是正整数)(8分)
11.(排列组合)把1,2,3,4,5,…,10这10个正整数,按照一定的顺序填人从左到右分别标记为1到10的10个空位中,选中两个不同的空位记为“对”如选中2号位和5号位,此时标号小的数位中的数如果小于标号大的数位中的数,则称这是顺序对,否则称为逆序对。(12分)
(1)10个位置会产生多少个“对”?
(2)把1到10,按照1,3,5,7,9,2,4,6,8,10的顺序填人,一共有多少个顺序对?
(3)有没有一种填数方法可以使得顺序对比逆序对恰好多偶数个?
12.(定义新运算)指数与对数是数学中两个非常重要的概念(本题中所有参数均为正整数),其中指数表示为ab,意思是b个a相乘(如23=2x2x2)。而对数作为指数运算的逆运算形式如下:logab,其中a叫做底数,b叫做真数,这个符号代表的数字的意义是a的多少次方的值为b如log28=3,23=8,1og327=3,33=27.(12分)
(1)试计算log525+log5125的值。
(2)通过上面式子能否猜想一下1og618+10g62的值。
(3)通过上面的问题总结一下规律给出logab+logac的结果,并尝试证明。
13.【定义新运算)[a]是高斯函数的符号,意义是小于a的最大整数的值,如。(13分)
(1)能否找到一个正数a使得a-[a]≥1,如果可以,请举出例子;如果不行,请说明理由。
(2)尝试证明[a+b]≥[a]+[b]。
(3)请列举出所有的正整数x,使得,并证明不会有其他的x符合条件。
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