2024年高中数学(选择性必修第二、三册)精品讲义7.2-7.3离散型随机变量(学生版+解析).docxVIP

离散型随机变量

一离散型随机变量及其分布列

1随机变量

①概念

一般地，对于随机试验样本空间Ω中每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.

②分类

随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量.

Eg:投掷一个骰子，得到的点数为X，它是离散型随机变量，能够一一列举出来；

一人一天摄取的卡路里Y，它是连续型随机变量.

2分布列

①概念

一般地，设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,?,xi

X

x

x

?

x

?

x

P

p

p

?

p

?

p

为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.

②性质

离散型随机变量的分布列具有下述两个性质

1

3两点分布

如果随机变量X的分布列为

X

0

1

P

1?p

p

则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率.

二离散型随机变量的数字特征

1离散随机变量的均值（数学期望）

(1)概念

一般地，随机变量X的概率分布列为

X

x

x

?

x

?

x

P

p

p

?

p

?

p

则称EX=x

它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平.

(2)若Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是变量

Y

a

a

?

a

?

a

P

p

p

?

p

?

p

则E(Y)=aE(X)+b，即E(aX+b)=aE(X)+b.(利用期望的概念可以证明)

(3)一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E

即若X服从两点分布，则E(X)=p.

2离散型随机变量取值的方差和标准差

（1）一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为

X

x

x

?

x

?

x

P

p

p

?

p

?

p

则称

D

为随机变量X的方差，有时候也记为V(x)，并称D(X)为随机变量X的标准差，记为σ(X)

随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散.

(2)一般地，D(aX+b)=a

(3)DX=E(X

证明D

=

=

=

=

=E

=E

=E(

【题型一】离散型随机变量的分布列性质

【典题1】设随机变量ξ的分布列如表：

ξ

1

2

3

4

5

6

P

a

a

a

a

a

a

其中a1,a

A．最大值为19B．最大值为136C．最小值为19

【典题2】设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k

A．15a=1 B．P(0.5ξ0.8)=0.2

C．P(0.1ξ0.5)=0.2 D．P(ξ=1)=0.3

巩固练习

1(★)若随机变量X的分布列如表：

X

﹣3

﹣2

0

1

2

3

P

0.1

0.2

0.2

0.3

0.1

0.1

则当P(Xm)=0.5时，m的取值范围是()

A．m≤2 B．0m≤1 C．0m≤2 D．1m2

2(★)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k4)=ak(k=1,2,3,4)

A．15 B．14 C．13

3(★)已知随机变量ξ的分布列为：

ξ

﹣2

﹣1

0

1

2

3

P

112

312

412

112

212

112

若P(ξ2x)=

A．4x≤9 B．4≤x9 C．x4或x≥9 D．x≤4或x＞9

【题型二】离散型随机变量的数字特征

【典题1】设离散型随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

q

0.4

0.1

0.2

0.2

若离散型随机变量Y满足Y=3X+1，则下列结果正确的有()

A．q=0.2 B．EX=2,DX=1.4

C．EX=2,DX=1.8 D．EY=7,DY=16.2

【典题2】已知A=B={1,2,3}，分别从集合A,B中各随机取一个数a,b，得到平面上一个点P(a,b)，事件“点

A．P4=2P2

C．E(X)=4 D．D(X)=

【典题3】已知随机变量X的分布列如表：

X

－1

0

1

P

a

b

c

其中a,b,c＞0．若X的方差DX≤13对所有

A．b≤13 B．b≤23 C．

巩固练习

1(★★)【多选题】设离散型随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4

P

0.2

0.1

0.2

q

若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则下列结果正确的有()

A．q=0.2 B．E(X)=3,D(X)=1.4

C．E(X)=2,D(X)=1.8 D．E(Y)=7,D(Y)=5.6

2(★★)【多选题】已知随机变量ξ的分布列是

ξ

－1

0

1

p

12

1?p2

p2

随机变量η的分布列是

η

1

2

3

P

12

1?p2

p2

则当p在(0,1)内增大时，下列选项中正确的是()

A．E(ξ)=E(ξ) B．