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第二章实数专题1勾股定理及其逆定理在平面几何中的应用
数学八年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS
◎问题综述勾股定理及其逆定理是平面几何中十分重要的定理,是数
与形的完美结合.勾股定理作为平面几何有关度量的基本定理,
它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征.学习勾股定理及
其逆定理是进一步认识和理解直角三角形的需要,也是后续有
关几何度量运算和代数学习的基础.因而勾股定理及其逆定理具
有学科的基础性和广泛的应用性.
数学八年级上册BS版02典例讲练
类型一求线段的长度如图,在△ABC中,已知∠ACB=90°,BC=1,AC=
2,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E.延长DE,
交BC的延长线于点F,连接AF.
(2)求AF的长.【思路导航】(1)根据勾股定理求AB的长,即可求AD的长;
(2)根据AF=BF,在Rt△ACF中,由勾股定理列出关于AF
长的方程,解方程即可.?(1)求AD的长;
(2)因为DF是线段AB的垂直平分线,所以BF=AF.所以CF=BF-BC=AF-1.因为∠ACF=90°,所以CF2+AC2=AF2,即(AF-1)2+22=AF2,?
【点拨】利用勾股定理表示出直角三角形三边的数量关系求线
段的长度,是一种十分重要的方法.需要注意的是,应用勾股定
理时,必须把要求的线段放到直角三角形中,如果没有直角三
角形,可以通过添加辅助线构造出直角三角形来解决问题,切
忌乱用勾股定理.在求得相应的线段后,可进一步求其他线段的
长度、图形的周长和面积.
如图,在△ABC中,已知AD,BE分别为边BC,AC的中线,
分别交BC,AC于点D,E.(1)若CD=4,CE=3,AB=10,试说明:∠C=90°;(2)若∠C=90°,AD=6,BE=8,求AB的长.
解:(1)因为AD,BE分别为边BC,AC的中线,CD=4,
CE=3,所以BC=8,AC=6.因为AB=10,所以AB2=AC2+BC2.所以△ABC是直角三角形,且∠C=90°.
?
类型二求角的度数如图,已知点E是正方形ABCD内一点,连接AE,BE,
CE,将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°到△CBE的位置,
且AE=1,BE=2,CE=3,求∠BEC的度数.【思路导航】连接EE,由旋转的性质和勾股定理可得EE的长
和∠BEE的度数,再由勾股定理的逆定理证得△EEC是直角三
角形,便可得到∠BEC的度数.
?
【点拨】勾股定理常用来求直角三角形的边长,而勾股定理的
逆定理常用来判定直角三角形,同时说明一个角为90°,所以
常通过勾股定理的逆定理及其他条件(如两边相等)来求角的
度数.
如图,已知点P是等边三角形ABC内的一点,且AP=3,BP=
4,CP=5,求∠APB的度数.
?答图
类型三证明线段的平方关系如图,已知∠BAC=∠DAF=90°,AB=AC,AD=
AF,点D,E为边BC上的两点,且∠DAE=45°,连接EF,
BF.试说明:BE2+CD2=DE2.【思路导航】先说明△AED≌△AEF,得到DE=FE;再说明
△ACD≌△ABF,得到CD=BF;最后在Rt△BEF中,由勾股
定理即可得到结论.
?
?
【点拨】因为勾股定理是以线段(边)的平方关系式实现的,
所以遇到需要证明线段的平方关系式时,就应自然地联想到利
用勾股定理来证明.一般地,结论中的线段并非同一个直角三角
形的三边时,常需通过全等三角形进行等量代换.
在△ABC中,已知AB=AC,AD⊥BC于点D,在AD上取一点
F,使得DF=DB,连接BF并延长,交AC于点E.(1)如图1,若AB=13,BC=10,求AF的长;(2)如图2,若AF=BC,试说明:BF2+EF2=AE2.图1图2
?
(2)如图,在BF上取一点H,使BH=EF,连接CF,CH.在Rt△BDF中,因为DF=DB,所以∠DBF=∠DFB=45°.
又因为∠AFE=∠DFB,所以∠DBF=∠AFE.在△CHB和△AEF
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