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立体几何小题小做
化繁为简──特例法
(2006年辽宁理科 16题)若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 ?,则
cos?=
对于一般正四棱柱,体对角线与各个面所成的角都为α,显然是个假命题。如果直线不是体对角线,无论是计算还是证明都将变得非常复杂。所以本题采用了特例法,也就是不妨认为一个正四棱柱为正方体,这样它的体对角线与它的各个面所成的角都为α,符合题中基本要求.
236若设棱长为1,则易求得cos?? ?
2
3
6
3
以立体几何为载体的概率题的解法
对这些以立体几何为载体的概率问题,如果孤立地去看,总有一些畏惧之感,解题的视角不应该只关注用排列组合去解概率问题,而更应该把问题聚集到多面体相关的性质,突出其根本,这样才能使问题的解答变得轻而易举.
在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等．腰．三角形的概
率为（ ）
1 2 3 4
B． C． D．
7 7 7 7
8解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得C3个三角形，要得直角非等．腰．三角形，
8
24
则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得C3，
8
所以选C。
解法1相对的棱AB,CD的4个顶点中,任选3个构成的三角形符
合题意,故有C3
34
3
?4个,而正方体有6对相对棱,故符合条件的所有直角
24
非等腰三角形有24个,因此,所求概率为
C3
8
?7.
3解法2以A为直角顶点的直角非等腰三角形有Rt△AAC,Rt△BAD,Rt△DAB,共3个.
3
24
因此,符合条件的直角非等腰三角形有3×8=24个,所求的概率为
C3
8
?7.
立体几何解题如何添加辅助线
解立体几何题“得辅助线者得天下”.此话说得虽有点过头,但学会添加辅助线确实是我们快捷解题的关键.那么,辅助线该如何添加呢?口诀:“有了中点配中点,两点相连中位线;等腰三角形出现,顶底中点相连线;有了垂面作垂线,水到渠成理当然.”
立体几何基本图形
正方体：可用来快速判定两直线的位置关系，如异面、平行、相交.
长方体：从同一点出发的三条棱两两互相垂直，其长度分别为a，b，c，就可以构
造长方体模型，外接球的直径就是对角线的长，所以2R?a2
b2
?c2.
正四面体：
5.
(16)如图，E、F分别为正方体的面ADDA
11
、面BCCB
1 1
的中心，则四边形BFDE在
1
该正方体的面上的射影可能是 ．(要求：把可能的图的序号都．填上)
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