第六节　离散型随机变量及其分布列、数字特征.docx

[A组基础保分练]

1．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．

(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和均值．

解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，

则P(A)＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).

(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.

又P(X＝1)＝eq\f(1,6)，P(X＝2)＝eq\f(5,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,6)，P(X＝3)＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×1＝eq\f(2,3).

所以X的分布列为

X

1

2

3

P

eq\f(1,6)

eq\f(1,6)

eq\f(2,3)

所以E(X)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(2,3)＝eq\f(5,2).

2．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙两班)进行经典美文诵读比赛的决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．

(1)求甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；

(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的分布列．

解：(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，

则P(A)＝eq\f(A\o\al(2,2)×A\o\al(4,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,15).

所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为eq\f(1,15).

(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.

P(X＝0)＝eq\f(A\o\al(2,2)×A\o\al(5,5),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,3)，P(X＝1)＝eq\f(4×A\o\al(2,2)×A\o\al(4,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(4,15)，P(X＝2)＝eq\f(A\o\al(2,4)×A\o\al(2,2)×A\o\al(3,3),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(A\o\al(3,4)×A\o\al(2,2)×A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(2,15)，P(X＝4)＝eq\f(A\o\al(4,4)×A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,15).

所以随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

eq\f(1,3)

eq\f(4,15)

eq\f(1,5)

eq\f(2,15)

eq\f(1,15)

3.某公司年会有幸运抽奖环节，一个箱子里有相同的十个乒乓球，球上分别标0,1,2，…，9这十个自然数，每位员工有放回依次取出三个球．规定：每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖．中奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖励10000元现金；三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励5000元现金；三个数字各不相同中三等奖，奖励2000元现金．其他不中奖，没有奖金．

(1)求员工A中二等奖的概率；

(2)设员工A中奖奖金为X，求X的分布列；

(3)员工B是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工B中奖奖金的期望．

解：(1)记事件“员工A中二等奖”为M，有放回，依次取三个球的取法有103种．中二等奖取法有两类：一类是前两次取到同一数字，从10个数字中取出2个，较大的数是前两次取出的数，较小的数是第3次取出的数，取法数为Ceq\o\al(2,10)＝45；另一类是后两次取到同一数字，取法数同样是Ceq\o\al(2,10)＝45.共90种取法，则P(M)＝eq\f(90,103)＝0.09.

(2)X的可能取值为0,2000,5000,10000.

P(X＝2000)＝eq\f(C\o\al(3,10),103)＝0.12；P(X＝5000)＝eq\f(90,103)＝0.09；P(X＝10000)＝eq\f(10,103)＝0.01；P(X＝0)＝1－P(X＝2000)－P(X＝5000)－P(X＝10000)＝0.78.

则X的分布列为

X

10000

5000

2000

0

P

0.01

0.09

0.12

0.78

(3)由(2)可知A中奖奖金的期望E(X)＝10000×0.01＋5000×0.09＋2000×0.12＋0×0.78＝790(元)．

员工B每次中奖奖金的期望和A一样，由题意可知员