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第3节函数的奇偶性与周期性

考试要求1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.

知识梳理

1.函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

关于y轴对称

奇函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

关于原点对称

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

[常用结论与微点提醒]

1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).

2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.

3.函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0).

(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a0).

(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a0).

(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a0，c为常数).

4.对称性的三个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.

诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.()

(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()

(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.()

(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))对称.()

解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错.

(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.

答案(1)×(2)×(3)√(4)√

2.(新教材必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是()

A.y＝x2sinx B.y＝x2cosx

C.y＝|lnx| D.y＝2－x

解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.

答案B

3.(老教材必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x0，,x，0≤x1，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________.

解析由题意得，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋2＝1.

答案1

4.(2020·济南一中月考)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()

A.－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.－eq\f(1,2)

解析由题意，得b＝0，且2a＝－(a－1)，解得a＝eq\f(1,3)，则a＋b＝eq\f(1,3).

答案B

5.(2019·全国Ⅱ卷)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x0时，f(x)＝()

A.e－x－1 B.e－x＋1

C.－e－x－1 D.－e－x＋1

解析由题意知，当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1.