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第08讲空间向量基本定理7种常见考法归类
1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解,会用空间向量的基底表示空间任一向量,能用正交分
解及坐标形式表示空间向量.
2.结合平面向量与空间向量的基本定理,解决平面与立体几何的相关问题.
知识点1空间向量基本定理
1.定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得
pxa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.如果pxa+yb+zc,则称xa+yb+zc
为p在基底{a,b,c}下的分解式.
注:(1)对于基底{a,b,c}应明确以下三点:
①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基
底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.
②基底中的三个向量a,b,c都不是0.这是因为0与任意向量共线,与任意两个向量共面.由于零向
量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都
不是零向量.
③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的,是一个向量组,基向量是指基底中的某一个向量,
二者是相关联的不同概念.
(2)空间向量基本定理的推论
―→
设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得OP
―→―→―→
=xOA+yOB+zOC.
推论表明:可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置.
2.空间向量的正交分解
(1)单位正交基底:空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用{i,j,k}表示.
(2)正交分解:由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,
使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解.
易错辨析:
()构成基底的三个向量中,可以有零向量吗?不可以.
1
―→―→―→―→―→
()在四棱锥中,OA可表示为OA=OB+OC+OD且唯一,这种说法对吗?对.
2OABCDxyz
知识点2证明平行、共面问题
1.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
2.如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,
,使=+
y)pxayb.
3.直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题;点线共面可以转化为向量共面问题.
1、判断基底的方法
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个向量是否共面,若不共面,就可以作为
一个基底.如果从正面难以入手,可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.
(2)判断基底时,常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体,用它们从同一顶点出发的
三条棱对应的向量为基底,并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
2、用基底表示向量的策略
(1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及向量数乘的运算律
进行.
(2)若没给定基底时,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是
看基向量的模及其夹角已知或易求.
3、证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.要证两直线平行,可构造与两直线分别平行的
向量,只要证明这两个向量满足a=λb即可.
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.
考点一:空间向量基本定理基底的判断
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