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第二章一维随机变量及其概率分布
引言本章随机变量的概念引进随机现象中变量的随机性的刻画方法,从而更加深入地研究随机现象讨论
随机变量第一节
S={红色、白色}非数量将S数量化在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色。引例可采用下列方法红色白色S
随机变量的定义X(ω)R??设Ω是试验E的样本空间,若对ω∈Ω,规定它对应于一个实数,记为X(ω),称定义在Ω上的实值单值函数X=X(ω)为一维随机变量,通常用大写字母X,Y,Z来表示.为什么引入随机变量?
为什么引入随机变量?概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的,为了更方便有力的研究随机现象,就要用数学分析的方法来研究,需将任意的随机事件数量化。当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时,就建立起了随机变量的概念。
随机变量与普通变量的区别?定义域不同:普通函数的定义域为数集,随机变量的定义域为样本空间1随机变量的取值依赖于试验结果,取某个值有一定的概率2
随机变量举例抛掷一颗骰子,观察出现的点数X=X(ω)=ω表示出现的点数事件A={出现的点数为偶数}={2,4,6}.用随机变量X可将A表示为“X∈{2,4,6}”从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.Ω={t/t≥0}X=X(t)=t表示测试灯泡的寿命事件A={寿命不低于3000小时}={t/t≥3000}.用随机变量X可将A表示为X∈{t/t≥3000}
按照随机变量可能取值情况,可以这样分类:连续型混合型随机变量类型离散型非离散型
本小节结束!
第二章一维随机变量及其概率分布
离散型随机变量第二节
引言随机变量类型·离散型·非离散型·连续型·混合型
1.离散型随机变量的定义随机变量X的全部可能取值只有有限个或可列无限个.2.分布律设X的所有可能取值为 x1,x2,…,xk,… .记pk=P{X=xk},k=1,2,…,称此数列{pk}为X的分布律列表表示
01非负性02规范性3.分布律的性质
(一)(0―1)分布4.常用特殊离散分布其分布是(0―1)分布的分布律也可写成
4.常用特殊离散分布例1“抛硬币”试验,观察正、反面情况.随机变量X服从(0―1)分布.其分布律为
(二)伯努利试验、二项分布4.常用特殊离散分布伯努利(Bernoulli)试验.则称这一n重伯努利试验是一种非常重要的概率模型,它有广泛的应用,是研究最多的模型之一.
例2抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.抛一颗骰子n次,观察是否“出现1点”,就是n重伯努利试验.二项概率公式·若X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数,则X所有可能取的值为
且两两互不相容.
得X的分布律为称这样的分布为二项分布.记为·二项分布两点分布
例3在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X服从b(5,0.6)的二项分布.
(三)泊松分布而取各个值的概率为
例4商店的历史销售记录表明,某种商品每月的销售量服从参数为λ=10的泊松分布。为了以95%以上的概率保证该商品不脱销,问商店在月底至少应进该商品多少件?解设商店每月销售某种商品X件,月底的进货量为n件,按照题意要求为
由附录的泊松分布表知于是,这家商店只要在月底进货该种商品15件(假定上个月无存货),就可以以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销。
小结离散型随机变量的分布两点分布二项分布泊松分布
2.二项分布与(0-1)分布、泊松分布之间的关系。二项分布是(0-1)分布的推广,对于n次独立重复伯努利试验,每次试验成功的概率为p,设:若第i次试验成功,若第i次试验失败。他们都服从(0-1)分布并且相互独立,那么:服从二项分布,参数为(n,p)。
以n,p(np=λ)为参数的二项分布,当n→时趋于以λ为参数的泊松分布,既
本小节结束!
第二章一维随机变量及其概率分布
随机变量的分布函数第三节
分布函数对于随机变量X,我们不仅要知道X取哪些值,X取这些值的概率;而且更重要的是想知道X在任意有限区间内取值的概率.引例例如?
分布函数的定义设X是一个随机变量,x是任意实数,函数称为X的分布函数。说明01分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况02分布函数F(x)是x
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