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随机变量的数字特征
1.设随机变量X~N(1,4),Y~N(0,16),X,Y相互独立,则U=X-Y+7服从(D)分布.
AN(8,23) BN(8,65) CN(1,20) DN(8,20)
2.设有两个随机变量和相互独立且同分布:
则下列各式成立的是(A)
(A)(B)(C)(D)
3.若X服从[-1,1]上的均匀分布,则期望EX=0DX=.若X服从B(12,0.3),则期望EX=3.6DX=2.52.
若X服从,则期望EX=DX=.若X服从,则期望EX=DX=.
已知X~B(n,p),则EX=np.
已知X~B(n,p),且EX=5,DX=2.5,则p=0.5.
5.(2012cczu)5分设随机变量的数学期望分别是-2,1,方差分别是1,4,两者相关系数是,则由切比雪夫不等式估计
.
6.盒中有3只黑球,2只红球,从中任取2只,若所取的2只中没有黑球,那么在剩下的球中再取1个球.以X表示所取得的黑球数,以Y表示所取得的红球数.求(X,Y)的联合分布列与边缘分布列,并判断X与Y的独立性,为什么?
解:
0
1
2
1
0
2
0
0
因,所以不独立.
7.将两封信随意地投入3个空邮筒,设X、Y分别表示第1、第2个邮筒中信的数量,求(1)X与Y的联合概率分布。(2)求出第3个邮筒里至少投入一封信的概率.(3)求其边缘分布
解:(1)(3)
0
1
2
0
1
0
2
0
0
(2)P=5/9.
8.袋中装有标有1,1,2,3的四个球,从中任取一个并且不再放回,然后再从袋中任取一球,以分别记为第一,第二次取到的球上的号码数,求(1)的联合分布律(2)的分布律(3)的分布律
解:
1
2
3
1
2
0
3
0
(2)
2
3
4
5
(3)
-2
-1
0
1
2
9.设二维随机变量的联合密度函数为,求(1)常数,(2),(3).
解:(1)因,即,解得
(2).(3).
10.设;①.求常数②求③与是否相互独立?
解:(1)见课本p60(2)联合密度函数求解过程见课本
边缘分布函数为
边缘密度函数为
(3)因为(或),所以相互独立.
11.设(X,Y)的联合概率密度是,求(1)c的值;(2)两个边缘密度(3)并判断X,Y的独立性(4)
(1)因,即,解得
(2),
当或时,.
当时,
所以
,
当或时,.
当时,
所以
(3)因,所以不独立.
(4)
12.设在3次独立试验中,每次试验事件A发生的概率相等.设X为3次试验中事件A发生次数且.求在3次独立试验中事件A至少发生一次的概率.
解:设A发生的概率为p,则.由得,.
所以,.
13.从只含有3黑,4白两种颜色球的球袋中逐次取一球,令.试在不放回模式下求的联合分布律,并考虑其独立性(要说明原因).
0
1
0
2/7
2/7
1
2/7
1/7
因为,所以不独立.
14.设相互独立,且,
,令求的分布律.
解:
0
1
P
15.设随机变量服从参数为的泊松分布且,求的值并写出随机变量的分布列.
解:;的分布列为.
16.设二维随机变量的联合分布列为
Y
X
0123
1
03/83/80
3
1/8001/8
求、和.
解:.因为
X
1
3
P
3/4
1/4
所以.因为
XY
0
1
2
3
6
9
P
1/8
3/8
3/8
0
0
1/8
所以.
又因为所以
17.盒中有4张卡片,其上所标的数字分别为1、2、3、4.从中任取一张,然后在剩下的卡片(其上的数字大于1)中再取1张.以表示第一次所取卡片上的数字,以表示第二次所取卡片上的数字.求的联合分布列和边缘分布列及,.
解:联合分布列为
X\Y
2
3
4
1
1/12
1/12
1/12
2
0
1/8
1/8
3
1/8
0
1/8
4
1/8
1/8
0
边缘分布列为
X
1
2
3
4
P
1/4
1/4
1/4
1/4
Y
2
3
4
P
1/3
1/3
1/3
.
18.设随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布,EX=1且DX=1.求a,b的值并写出随机变量的密度函数f(x).
解:因为,,解得.
所以
19.设,且X,Y独立,试求E(XY),D(XY).
解:因为,相互独立,所以.
因为所以,
,又因为相互独立,所以
20.设随机变量X密度函数为,求EX,E(5X-1),,DX和D(2X).
解:,,
,,
.
21.设随机变量X的密度函数为,求(1)Y=2X+1的密度函数(2)求EY及DY.
解:(1)
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