第二节　等差数列.docx

[A组基础保分练]

1．(2023·北京模拟)在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，则a4＋a5＋a6＝()

A．38 B．39

C．41 D．42

解析：设等差数列{an}的公差为d，由a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，得3×2＋6d＝24，得d＝3，∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝42.

答案：D

2．(2023·福州质检)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))为等差数列，则a9＝()

A.eq\f(1,2) B.eq\f(5,4)

C.eq\f(4,5) D．－eq\f(4,5)

解析：因为数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))为等差数列，a3＝2，a7＝1，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的公差d＝eq\f(\f(1,a7)－\f(1,a3),7－3)＝eq\f(1－\f(1,2),7－3)＝eq\f(1,8)，所以eq\f(1,a9)＝eq\f(1,a7)＋(9－7)×eq\f(1,8)＝eq\f(5,4)，所以a9＝eq\f(4,5).

答案：C

3．(2023·枣庄模拟)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝3a3，则eq\f(S9,S5)＝()

A.eq\f(9,5) B.eq\f(5,9)

C.eq\f(5,3) D.eq\f(27,5)

解析：eq\f(S9,S5)＝eq\f(\f(9?a1＋a9?,2),\f(5?a1＋a5?,2))＝eq\f(9?a1＋a9?,5?a1＋a5?)＝eq\f(9a5,5a3)＝eq\f(9,5)×3＝eq\f(27,5).

答案：D

4．(2023·北京模拟)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，a5＋a7－aeq\o\al(2,6)＝0，则S11的值为()

A．11 B.12

C．20 D．22

解析：法一：设正项等差数列{an}的公差为d(d＞0)，则(a1＋4d)＋(a1＋6d)－(a1＋5d)2＝0，得(a1＋5d)·(a1＋5d－2)＝0，所以a1＋5d＝0或a1＋5d＝2.又a1＞0，所以a1＋5d＞0，则a1＋5d＝2，S11＝11a1＋eq\f(11×10,2)d＝11(a1＋5d)＝11×2＝22.

法二：因为{an}为正项等差数列，所以由等差数列的性质，结合a5＋a7－aeq\o\al(2,6)＝0，得2a6－aeq\o\al(2,6)＝0，则a6＝2，S11＝eq\f(11?a1＋a11?,2)＝eq\f(11×2a6,2)＝11a6＝22.

答案：D

5．在等差数列{an}中，若eq\f(a9,a8)＜－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn＞0时，n的最小值为()

A．14 B.15

C．16 D．17

解析：∵数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，∴公差d＞0，首项a1＜0，{an}为递增数列．又eq\f(a9,a8)＜－1，∴a8·a9＜0，a8＋a9＞0，得a8＜0.由等差数列的性质知，2a8＝a1＋a15＜0，a8＋a9＝a1＋a16＞0.∵Sn＝eq\f(n?a1＋an?,2)，∴当Sn＞0时，n的最小值为16.

答案：C

6．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S7＝a4，则()

A．a1＋a3＝0 B.a3＋a5＝0

C．S3＝S4 D．S4＝S5

解析：由S7＝eq\f(7?a1＋a7?,2)＝7a4＝a4，得a4＝0，所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4.

答案：BC

7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a4＝5，则S6＝.

答案：15

8．(2023·武汉高三测试)等差数列{an}中，已知Sn是其前n项和，a1＝－9，eq\f(S9,9)－eq\f(S7,7)＝2，则an＝，S10＝.

解析：设等差数列{an}的公差为d，

∵eq\f(S9,9)－eq\f(S7,7)＝2，∴eq\f(9－1,2)d－eq\f(7－1,2)d＝2，

∴d＝2，∵a1＝－9，∴an＝－9＋2(n－1)＝2n－11，

S10＝10×(－9)＋eq\f(10×9,2)×2＝0.

答案：2n－110

9．已知数列{an}满足a1＝－eq\f(2,3)，an＋1＝eq\f(－2an－3,3an＋4)(n∈N＋)．

(1)证