高二数学优质课公开课2.2.2.pdf

2.2.2反证法

反证法是间接证明的一种基本方法.我们对

于这种方法其实并不陌生,在日常生活或解

决某些数学问题时,有时会不自觉地使用反

证法.



思考桌面上有3枚正面朝上的硬币,每

次用双手同时翻转2枚硬币.那么无论怎样

翻转,都不能使硬币全部反面朝上.你能解

释这种现象吗?

指有面额的那面.

上述现象可以用直接证明的方法解释,但是,我们这

里采用反证法.

假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上.

由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要

翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要



翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.

但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被

翻转的次数只能是2的倍数,即偶数次.这个矛盾

说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不

能使3枚硬币全部反面朝上.

一般地,假设原命题不成立,经过正确

的推理,最后得出矛盾,因此说明假设

错误,从而证明了原命题成立,这样的

证明方法叫做反证法(reductionto

absurdity).

例4如图2.22,AB,CD为圆

的两条相交弦,且不全为直径.AD

求证AB,CD不能互相平分.

动画演示.CB

证明假设AB,CD互相平分,图2.22

则ACBD为平行四边形,故ACBADB,

CADCBD.因为ABCD为圆内接四边形,所以

00

ACBADB180,CADCBD180.

00

则ACB90,CAD90.故对角线AB,CD均

为直径,与已知矛盾.因此,AB,CD不能互相平分.

还有其他的证明方法吗?

例4如图2.22,AB,CD

AD

为圆的两条相交弦,且不

全为直径.求证AB,CD不

CB

能互相平分.

证明假设AB,CD互相图2.22

平分,则ACBD为平行四

边形,故ACBADB,

CADCBD.因为ABCD为圆内接四边形,所以

00

ACBADB180,CADCBD180.

00

则ACB90,CAD90.故对角线AB,CD均

为直径,与已知矛盾.因此,AB,CD不能互相平分.

还有其他的证明方法吗?

例5求证2是无理数.

分析直接证明一个数是无理数比较困难,我们采用

反证法.假设2不是无理数,那么它就是有理数.我们

m

知道,任一有理数都可以写成形如(m,n互质,mZ,

n



nN)的形式.下面我们看看能否由此推出矛盾.

证明假设2不是无理

两个正整数m,n