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1.1.2导数的概念
在高台跳水运动中,运动员在不同时刻的速度
是不同的.我们把物体在某一时刻的速度称为
瞬时速度(instaneousvelociy).运动员的平均速
度不一定能反映他她在某时刻的瞬时速度.
那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如,t2
时的瞬时速度是多少?
我们先考察t2附近的情况.在t2之前或之后,
任意取一个时刻2t,t是时间的改变量,可以是
正值,也可以是负值,但不为0.当t0时,2t在2
之前;当t0时,2t在2之后.计算区间2t,2
和区间2,2t内平均速度v,可以得到如下表格.
t0时,在2t,2这段时间内
2
h2h2t
4.9t13.1t
v4.9t13.1
22t
t
当t0.01时,v13.051;
当t0.001时,v13.0951;
当t0.0001时,v13.09951;
当t0.00001时,v13.099951;
当t0.000001时,v13.0999951;
t0时,在2,2t这段时间内
2
h2th2
4.9t13.1t
v4.9t13.1
2t2
t
当t0.01时,v13.149;
当t0.001时,v13.1049;
当t0.0001时,v13.10049;
当t0.00001时,v13.100049;
当t0.000001时,v13.1000049;
观察当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势?
我们发现,当t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,
还是从大于2一边趋近于2时,平均速度都趋近于一
个确定的值13.1.
从物理的角度看,时间间隔|t|无限变小时,平均
速度v就无限趋近于t2时的瞬时速度.因此,运动
员在t2时的瞬时速度是13.1m/s.
h2th2
为了表述方便,我们用lim13.1
t0t
表示当t2,t趋势近于0时,平均速度v趋近于确
定值13.1.
h2th2
我们称确定值13.1是当t趋近于0时的极限.
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