第2节　二项式定理.doc

第2节二项式定理

A级(基础应用练)

1．(2022·山东枣庄高三模拟)在(2x＋eq\f(1,x))6的展开式中x4的系数为()

A．160 B．192

C．184 D．186

答案：B

解析：二项式(2x＋eq\f(1,x))6的展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2x)6－r(eq\f(1,x))r＝Ceq\o\al(r,6)26－rx6－2r，当r＝1时，T2＝Ceq\o\al(1,6)×25×x4＝192x4，x4的系数为192.故选B.

2．已知(eq\r(x)－eq\f(2,x))n的展开式中第3项是常数项，则n＝()

A．6 B．5

C．4 D．3

答案：A

3．(2022·广东高三二模)(1＋3x)2＋(1＋2x)3＋(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝()

A．49 B．56

C．59 D．64

答案：C

解析：令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋3)2＋(1＋2)3＋(1＋1)4＝59.故选C.

4．(2022·陕西高三模拟)若(2－x)10展开式中二项式系数的和为A，所有项的系数和为B，一次项的系数为C，则A＋B＋C＝()

A．4095 B．4097

C．－4095 D．－4097

答案：C

解析：由于(2－x)10展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·210－r·(－x)r＝(－1)r·

210－r·Ceq\o\al(r,10)·xr，所以一次项系数C＝(－1)1·29·Ceq\o\al(1,10)＝－5120，二项式系数的和A＝210＝1024，令x＝1，则所有项的系数的和B＝(2－1)10＝1，所以A＋B＋C＝

－4095.故选C.

5．已知(1－eq\f(x,2))n的展开式中所有项的系数的和等于eq\f(1,256)，则展开式中项的系数的最大值是()

A.eq\f(7,2) B.eq\f(35,8)

C．7 D．70

答案：C

解析：令x＝1，得(1－eq\f(1,2))n＝eq\f(1,256)，∴n＝8，∴(1－eq\f(x,2))8的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(－eq\f(x,2))r，

要求展开式中项的系数的最大值，则r必为偶数，

∴T1＝Ceq\o\al(0,8)(－eq\f(x,2))0＝1，T3＝Ceq\o\al(2,8)(－eq\f(x,2))2＝7x2，T5＝Ceq\o\al(4,8)(－eq\f(x,2))4＝eq\f(35,8)x4，

T7＝Ceq\o\al(6,8)(－eq\f(x,2))6＝eq\f(7,16)x6，T9＝Ceq\o\al(8,8)(－eq\f(x,2))8＝eq\f(1,256)x8，

故选C.

6．(2022·山东烟台高三一模)多项式(x2＋1)(x＋1)(x＋2)(x＋3)展开式中x3的系数为()

A．6 B．8

C．12 D．13

答案：C

解析：原式＝x2(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)，所以展开式中含x3的项包含(x＋1)(x＋2)(x＋3)中含x的项和(x＋1)(x＋2)(x＋3)中含x3的项，它们分别为1·2·x＋2·3·x＋1·3·x＝11x，x3，这两项的系数的和为11＋1＝12.故选C.

7．(2022·汕头市高三月考)(x2＋3x－1)5展开式中x的系数为()

A．－3 B．3

C．－15 D．15

答案：D

解析：(x2＋3x－1)5＝[(3x－1)＋x2]5＝(3x－1)5＋Ceq\o\al(1,5)(3x－1)4·x2＋…＋(x2)5，含x的项只存在于(3x－1)5中，x的系数为Ceq\o\al(4,5)(－1)4×3＝15.故选D.

8．(2022·江苏高三期末)52021除以4的余数是________．

答案：1

解析：52021＝(1＋4)2021＝Ceq\o\al(0,2021)＋Ceq\o\al(1,2021)·4＋Ceq\o\al(2,2021)·42＋…＋Ceq\o\al(2021,2021)·42021，∴52021除以4的余数是Ceq\o\al(0,2021)＝1.

9．(2022·四川高三三模)已知(x＋1)n的展开式中二项式系数的和为128，则Ceq\o\al(0,n)－2Ceq\o\al(1,n)＋4Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)(－2)n＝________.

答案：－1

解析：由已知可得2n＝128，解得n＝7，所以二项式(x＋1)7