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关于球的外接与内切问题2
题型四一般模型
以上几种模型,都有具体的条件要求,它们对应有简便的求解方法,那现在提出一个一般情况的问题:如何求解任一锥体的外接球的半径?(这个问题解决了面积、体积等各种问题也不成问题).
预备知识:球体的截面都是圆,设两个不平行的截面小圆的圆心为O1,O2,分别过
不失一般性,如下图进行分析:已知三棱锥A?BCD每条棱长度,求其外接球的半径.
解题步骤
①确定球心O的位置:找出?BCD和?ACD的外心O1和O2,过O1和O2分别作平面BCD和平面ACD的垂线,两垂线的交点即为球心
②求半径R:这里提供二个思路
(1)在Rt?OO1C中有R2=CO2=O
(2)在Rt?OEC中有R2=CO2=EC2+EO2=CD22+EO
【典题1】已知三棱锥A-BCD中,?BAC和?BDC是全等的等边三角形,边长为2,当三棱锥体积最大时,三棱锥的外接球表面积为.
【典2】如图所示,三棱锥P-ABC中,∠APB=2π3,PA=PB=3,AC=5,BC=4,且平面PAB⊥
A.16π B.32π C.24π D.28π
【典题3】如图,四面体ABCD中,面ABD和面BCD都是等腰Rt?,AB=2,∠BAD=∠CBD=π2,且二面角A-BD-C的大小为5π6,若四面体ABCD的顶点都在球
A.12π B.20π C.24π D.36π
1(★★★)已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,EA=EB=3,AD=2,∠AEB=60°,则多面体E?ABCD的外接球的表面积为
2(★★★)三棱锥P?ABC中,平面PAC⊥平面ABC,△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形,则三棱锥P?ABC外接球的半径为.
3(★★★)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=23,E为对角线BD的中点,将△ABD沿BD折起到△PBD的位置,若∠PEC=120°,则三棱锥P-BCD
4(★★★)已知四边形ABCD是边长为5的菱形,对角线BD=8(如图1),现以AC为折痕将菱形折起,使点B达到点P的位置.棱AC,PD的中点分别为E,F,且四面体PACD的外接球球心落在四面体内部(如图2),则线段EF长度的取值范围为.
题型五内切球问题
1内切球的概念
如果一个球与简单多面体的各面或其延展部分都相切,且此球在多面体的内部,则称这个球为此多面体的内切球.例:与圆柱两底面以及每条母线都相切的球称为这个圆柱的内切球.
2三棱锥P?ABC是任意三棱锥,求其的内切球半径
答等体积法
即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和与三棱锥P?ABC体积相等.
∴
=
=
∴r=3
(可与三角形ABC内切圆的半径r=2
【典题1】如图,在圆锥PO的轴截面PAB中,∠APB=60°,有一小球O1内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切),设小球O1的体积为V1,圆锥PO的体积为V
A.13 B.49 C.59
【典题2】棱长为a的正四面体的内切球的表面积为.
1(★★)将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件,则可能制作的最大零件的体积为.
2(★★)若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1,当该圆锥体积取最小值时,该圆锥体积与其内切球体积比为.
3(★★)已知正三棱柱ABC?A1B1C1的六个顶点在球O1上,又球O
题型六多球与多面体的相切问题
【典题1】4个半径为1的中球上层1个、下层3个两两相切叠放在一起.
(1)有1个空心大球能把4个中球装在里面,求大球的半径至少是多少?
(2)在它们围成的空隙内有1个小球与这4
【典题2】将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个四面体的高的最小值为.
1在棱长为1的正方体内有两个球外切且有分别与正方体内切.
(1)球两球的半径之和;
(2)球的半径分别为多少时,两球体积之和最小.
2将3个半径为1的球和1个半径为2?1的球叠为两层放在桌面上,上层只放1个较小的球,4个球两两相切,求
关于球的外接与内切问题2
题型四一般模型
以上几种模型,都有具体的条件要求,它们对应有简便的求解方法,那现在提出一个一般情况的问题:如何求解任一锥体的外接球的半径?(这个问题解决了面积、体积等各种问题也不成问题).
预备知识:球体的截面都是圆,设两个不平行的截面小圆的圆心为O1,O2,分别过
不失一般性,如下图进行分析:已知三棱锥A?BCD每条棱长度,求其外接球的半径.
解题步骤
①确定球心O的位置:
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