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第2节二项式定理

[课程标准要求]

1能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理

2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题

1二项式定理

(1)二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-b+…+

(2)二项展开式的通项T+1=Cnkan-b,它表示通项为展开式的第

(3)二项式系数二项展开式中各项的系数Cn0,C

二项展开式形式上的特点

(1)项数为n+1

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n

(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n

2二项式系数的性质

性质

性质描述

对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即Cnk

增减性

二项式系数C

当n+12(n∈N*)时,是

当n+12(n∈N*)时,是

二项式系

数最大值

当n为偶数时,中间的一项Cn

当n为奇数时,中间的两项Cnn-

二项式系数是指Cn0,Cn

3杨辉三角

下面的数表称为杨辉三角

其中第n行是1,Cn1,Cn2,…,

1(a+b)n展开式的各二项式系数的和Cn0+Cn1+C

2在(a+b)n的展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即Cn0+Cn2+Cn4+…=C

1(选择性必修第三册P31练习T4改编)在(-1x)4

A4 B-4

6 D-6

解析(-1x)4的二项展开式的第2项为T2=T1+1=C414-1(-1x)1=-C

所以第2项的系数为-4

2(选择性必修第三册P30例2改编)在(x-)4的展开式中,2的系数为(B)

A-1 B1 -4 D4

解析(x-)4的展开式的通项为Tr+1=C4r(x)4-r(-)r=(-1)r

令2+r2

故2的系数为(-1)0C4

3已知(2-13x)n的展开式中各二项式系数之和为128,则展开式中的常数项为

解析由题意得2n=128,得n=7,所以(2-13x)7的展开式的通项为Tr+1=C7r(2)7-r(-13

由14-7r3=0,得r=6,所以展开式的常数项是T7=(-1)6

答案7

4若(-1)4=a0+a1+a22+a33+a44,则a0+a2+a4的值为?

解析令=1,得a0+a1+a2+a3+a4=0,令=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=16,两式相加得a0+a2+a4=8

答案8

二项式定理通项的应用

(a+b)n(n∈N*)型展开式

[例1](1x+a2)6(a∈R)的展开式的常数项为154,则展开式中含

A-52 B

-52或52 D-15

解析(1x+a2)6(a∈R)展开式的通项为Tr+1=C6r(1x)6-r(a2)r=C

令3r-6=0,则r=2,

所以展开式的常数项为C62·a2=

解得a=±1

令3r-6=3,解得r=3,所以展开式中含3项的系数为C63·a3=20×(12)3=52或20×(-12

求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项T+1=Cnkan-b的理解,一般需要建立方程求,再将的值代回通项求解,注意

(1)第项此时+1=,直接代入通项

(2)常数项即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程

(3)有理项令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程

注意解题时注意二项式系数中n和r的隐含条件使用二项展开式的通项时要注意①通项表示的是第r+1项,而不是第r项;②通项中a和b的位置不能颠倒

形如(a+b)(+d)n(,n∈N*)的展开式问题

[例2](2+2)(1x2

A-3 B-2 2 D3

解析(1x2

Tr+1=C5r(1x2)5-r·(-1)r=C5

当2r-10=-2,即r=4时,有2·C54-2·(-1)4=C54

当2r-10=0,即r=5时,

有2·C550·(-1)

因此展开式中的常数项为5-2=3故选D

形如(a+b)(+d)n(,n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的求解方法

(1)分别求出(a+b),(+d)n的通项,结合多项式的乘法,综合考虑

(2)观察(a+b)(+d)n是否可以合并,若能合并,则合并后求解如(1+)5·(1-)7=[(1+)(1-)]5(1-)2=(1-2)5·(1-)2

(3)若,n中有一个比较小,可考虑把它展开,如(a+b)2(+d)n=(a2+2ab+b2)(+d)n,然后分别求解

形如(a+b+)n(n∈N*)的展开式问题

[例3](2-+1)10展开式中3项的系数为()

A-210 B210 30 D-30

解析法一(2-+1)10展开式中3项的构成有以下几种可能

①1个2,1个(-),8个1,

所得项为C1012·C91(-)·C

②3个(-),7个1,

所得项为C103(-)3·C77