2025版高考数学一轮总复习考点突破第九章概率与统计9.9正态分布.docVIP

第九章概率与统计9.9正态分布

考点一正态分布的概念与性质

例1[2024年新课标Ⅱ卷]某物理量的测量结果听从正态分布N10,σ

A.σ越小,该物理量在一次测量中在9.9,

B.σ越小,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.σ越小,该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.σ越小,该物理量在一次测量中落在9.9,10.2与落在

解：对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10旁边越集中,所以测量结果落在9.9

对于B,由正态分布密度曲线的对称性,可知该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5,B正确.

对于C,由正态分布密度曲线的对称性,可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,C正确.

对于D,该物理量一次测量结果落在9.9,10.0的概率与落在10.2,

故选D.

【点拨】利用正态曲线的特点求参数μ，σ.①正态曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，由此特点结合图象求出μ.②正态曲线在x=μ处达到峰值

变式1设X～Nμ1,

A.P

B.P

C.函数Ft=P

D.P

解：由正态密度曲线的性质，得X，Y的正态密度曲线分别关于直线x=μ1，x=μ2对称.对于A，由图象,得μ1μ2，所以PY≥μ2PY≥μ1，故A错误.对于B，由图象,得X的正态密度曲线较Y的正态密度曲线“瘦高”，所以σ1σ2，所以

考点二正态分布的概率计算

例2为了解高三复习备考状况，某校组织了一次阶段考试,高三全体考生的数学成果近似听从正态分布N100,17.52.已知成果在117.5分以上（不含117.5分）的学生有80人，则此次参加考试的学生成果低于82.5分的概率为0.16；假如成果大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成果特别优秀的大约有10人（若X～

解：因为数学成果X～N100,17.52，所以P100?17.5≤X

【点拨】正态曲线解题的关键是，利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解,要留意数形结合思想及化归思想的运用.

变式2

（1）【多选题】已知随机变量X～N0,1

A.PX≤?

C.P1≤

解：因为随机变量X～N0,1

因为随机变量Y～N1,2

利用正态密度曲线的对称性,可得PX≤?1=PX≥

因为P1≤X

所以P1≤X

因为PX≥2=1?Pμ1

（2）若随机变量X～Nμ,σ2σ0

A.19 B.12 C.6 D.5

解：因为数学成果近似地听从正态分布N120,10

所以Px?12010

故选C.

考点三正态分布的应用

例3某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径（单位：cm）的数据如下：

8787889295979899103104

设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ.

（1）求μ与σ.

解：μ=110×87

（2）假设这批零件的内径Z（单位：cm）听从正态分布Nμ

①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为X，求D

[答案]因为Z～N95,36，所以PZ

②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：cm）分别为76，85，93，99，108，以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否须要进一步调试，说明你的理由.

附：若X～Nμ,σ

[答案]

因为Z～N95,36，所以P

因为76?[77,

【点拨】解决正态分布问题要把握住三个关键点：对称轴x=μ,标准差σ和分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值,由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为σ,2σ或

变式3

（1）【多选题】装疫苗的玻璃瓶用的不是一般玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）.某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X1～N4.7,0.01，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X2～N4.6,

A.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在4.5,4.8

B.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中

C.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大

D.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数范围为[4.6

解：因为X1～N4.7,

因为X2～N4.6,

所以P4.5X

因为σ1=0.1

因为PX1≤5=PX

P4.6≤X1≤4.8=

（2）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关依据难度进行赋分，满分为450分.已知包括甲、乙、丙在内的2500人参加了该项闯关活动.且该闯关活动累计得分听从正态分布，