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习题4.1
1.设10个零件中有3个不合格.?现任取一个使用,若取到不合格品,则丢弃重新抽取一个,试求取到合格品之前取出的不合格品数X的数学期望.
解可得的概率分布为
于是的数学期望为
2..某人有n把外形相似的钥匙,其中只有1把能打开房门,但他不知道是哪一把,只好逐把试开.求此人直至将门打开所需的试开次数X的数学期望.
解可得的概率分布为
于是的数学期望为
3.设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9,若记失败次数为X,求X的数学期望。
解由题意,则的数学期望为
4.设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布.据统计,在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的?,求该地每年因交通事故死亡的平均人数。
解设该地每年因交通事故死亡的人数为,由题意服从泊松分布.因
即
于是的数学期望为
所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。
5.设随机变量X在区间上服从均匀分布,求.
解因X在区间上服从均匀分布,故的数学期望为
于是
6.设连续型随机变量X的概率密度为
又知,求的值
解由密度函数的性质可得
即
又由,可得
即
求解
可得.
7.设随机变量X的概率密度为
求数学期望
解
8.设随机变量X的概率分布为
X-2-101
P0.20.30.10.4
求;(2).
解(1)
其中
则
(2)
9.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元;发生一次故障仍可获利润5万元;发生两次故障所获利润0元;发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少?
解设为一周内机器发生故障的次数,由题意,;又设为一周的利润(单位:万元),则
于是一周的期望利润为
10.计算第1,2,3各题中随机变量的方差。
解(1)因的分布律为
故
于是
(2)因的概率分布为
可得的数学期望为,又
于是
(3)由题意,则的方差为
11.设随机变量的概率密度为
求的方差.
解
故
12.设某公共汽车站在5分钟内的等车人数服从泊松分布,且由统计数据知,5分钟内的平均等车人数为6人,求.
解由题设知,随机变量的期望为,则泊松分布的参数,于是的方差,故
13.已知随机变量X的概率密度为
((1)设,求.
(2)设,求
解由随机变量的密度函数可知,服从参数为的指数分布,则,则
(1)
(2)
又
故有
14*.设随机变量X和Y同分布,均具有概率密度
令已知A与B相互独立,且.试求:(1)a的值.(2)的数学期望.
解由题意知故
于是由及A与B相互独立知
解得
(2)
习题4.2
1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
求.
解
2.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
试求.
解
3.设随机变量X,Y的概率密度分别为
求.
解由的密度函数可知,分别服从参数为的指数分布,则
,
于是
4.设随机变量X与Y相互独立,且,,求
解由数学期望的性质知
又由相互独立可得
于是有
5将一颗均匀的骰子连掷10次,求所得点数之和的数学期望及方差。
解设为第i次掷骰子所出的点数,则
10次掷骰子的点数之和为
由数学期望的性质,有
其中
故
又因相互独立,故
其中
于是
6.设(X,Y)的概率密度函数为
求cov(X,Y).
解由已知得,
因此,
7.设(X,Y)的联合概率分布为
XY-101
00.10.20.1
10.20.30.1
求
解由(X,Y)的联合概率分布可得
及
则可得
故
8.*设X与Y是相互独立的两个随机变量,且均服从参数为的指数分布。试求随机变量的协方差..
解因相互独立且均服从参数为的指数分布,则
于是,的协方差为
9.设随机变量X与Y均服从标准正态分布,相关系数为0.5.求.
解由题设知
则
习题4.3
1.设X是掷一颗骰子所出现的点数,若给定?=1,2,实际计算并验证切比雪夫不等式成立.
解因X的概率函数为所以
可见切比雪夫不等式成立。
2.已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3ⅹ109,标准差是0.7ⅹ109.试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2ⅹ109至9.4ⅹ109之间的概率的下界.
解设每升血液中的白细胞数为随机变量,由题设
则由切比雪夫不等式
3.将一颗骰子连续掷4次,点数总和记为,试估计.
解利用习题4.2的5题计算结果,可求
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