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第五章频率和振型的近似计算(4h)瑞利能量法瑞利-里兹法矩阵迭代法子空间迭代法中南大学桥梁工程系第五章频率和振型的近似计算

中南大学桥梁工程系5.1瑞利能量法为什么要讲近似计算方法？回顾上一章计算自振特性的特征值方法：求出了所有阶振型与频率，计算耗时多！第五章频率和振型的近似计算是否需要算出全部振型？是否有价值？能否只算部分振型？——提高计算效率！

中南大学桥梁工程系瑞利商的推导过程（平衡方法）第五章频率和振型的近似计算

中南大学桥梁工程系瑞利商的推导过程（能量守恒方法）第五章频率和振型的近似计算基本思想：

中南大学桥梁工程系瑞利商的推导过程（能量守恒方法）第五章频率和振型的近似计算对于离散系统：

中南大学桥梁工程系振型向量如何得到？第五章频率和振型的近似计算准确的振型，对应精确的频率值假定的振型，对应近似频率值，近似值比精确值高(针对第一阶)自重作用的变形，是较好的假定振型寻找更好的假定振型，见改进的Rayleigh方法，第二瑞利商就是一种改进实例分析：思考：分布参数体系如何处理？

中南大学桥梁工程系5.2瑞利-里兹法瑞利-里兹法相比，有何优势？瑞利法——假定振型，一般只能是第一阶，只能求基频！第五章频率和振型的近似计算瑞利-里兹法——一次选择多阶近似振型，同时求出多阶频率

中南大学桥梁工程系瑞利-里兹法的基本思想第五章频率和振型的近似计算1）假定多阶近似振型：2）体系第i阶振型:满足体系几何边界条件并且相互独立待定组合参数：3）代入瑞利商表达式:可视为4）应用极值条件(变化组合参数，近似振型越接近真实振型，计算频率趋于真实值——极值)（s阶特征值问题）

中南大学桥梁工程系瑞利-里兹法的求解过程第五章频率和振型的近似计算1）假定多阶近似振型：满足体系几何边界条件并且相互独立可视为2）得到特征值方程:3）求解出:4）回代求振型:评论：计算准确度仍依赖于假设振型的近似程度（不过，其对振型近似性的要求比瑞利能量法的要求低）。计算证明，前几阶频率和振型接近于准确解，后面的则有不同程度的误差。

中南大学桥梁工程系5.3矩阵迭代法瑞利-里兹法的计算准确度与假设振型的近似程度有关，对假设振型的要求较高，困难在于选择合适的假设振型。矩阵迭代法可克服此困难，可粗略假设振型。小型问题可用电子计算器手算，大型问题可编成程序电算。第五章频率和振型的近似计算

中南大学桥梁工程系矩阵迭代法的求解过程第五章频率和振型的近似计算1）柔度矩阵表达的特征值方程：可视为2）迭代求解第一阶频率与振型的过程：从例6-4看过程Q：为什么迭代收敛到第一阶频率与振型？

第五章频率和振型的近似计算Q：为什么迭代收敛到第一阶频率与振型？1）初选假设振型（注意：Ci未知，但存在）：2）第1次迭代计算：3）第2次迭代计算：4）第k次迭代计算：

第五章频率和振型的近似计算Q：为什么迭代收敛到第一阶频率与振型？(指的是对uk的贡献程度）

讨论第五章频率和振型的近似计算Q1：收敛速度取决于的速度可视为Q2：为什么收敛于第一阶而非第二阶？Q3：目前还只求出了第一阶，如何求第二阶及更高阶？Q4：C1如何确定？A4：由已求出的A1以及正交性，可确定C1Q5：迭代过程中的计算误差导致一次迭代后u1又含有A1成分，怎么办？

中南大学桥梁工程系5.4子空间迭代法第五章频率和振型的近似计算瑞利法——假定振型，一般只能是第一阶，只能求基频！瑞利-里兹法——假定多阶振型，同时求多阶振型与基频！计算准确度与假设振型的近似程度有关，对假设振型的要求较高，困难在于选择合适的假设振型。几种近似方法回顾

中南大学桥梁工程系矩阵迭代法——每次迭代计算只能求出系统的一阶固有频率与振型。如果要求s个自由度系统的前阶固有频率与振型，就得按顺序逐个迭代计算s次，计算量很大。每次迭代计算只限于一个假设振型矢量参与迭代。第五章频率和振型的近似计算子空间迭代法——选取s个假设振型矢量同时进行迭代求解，一次性迭代就能得出前s阶频率与振型。(瑞利-里兹思想)

中南大学桥梁工程系子空间迭代法的求解过程第五章频率和振型的近似计算1）柔度矩阵表达的特征值方程：2）假定s阶振型列阵Q：这样迭代下去会有什么效果？为什么？怎么解决？3）迭代：

子空间迭代法的求解过程第五章频率和振型的近似计算1）柔度矩阵表达的特征值方程：2）假定s阶振型列阵不直接用迭代，而是用RR方法找替代矩阵3）迭代：实质：利用RR方法，使得各列近似振型向对应阶振型靠近。

子空间迭代法的求解过程第五章频率和振型的近似计