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第09讲空间向量及其运算的坐标表示10种常见考法归类
理解和掌握空间向量的坐标表示及意义,会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹
角、长度以及有关平行、垂直的证明.
知识点1空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以O为原点,分别以i,j,k
的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们
就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
相关概念:叫做原点,,,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称
(2)Oijk
为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分.
注意点:
基向量:===,===
(1)|i|j|||k|1i·ji·kj·k0.
画空间直角坐标系时,一般使∠=或,∠=
(2)OxyzxOy135°(45°)yOz90°.
(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指
向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
2.空间一点的坐标、向量的坐标
(1)空间点的坐标
→
在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位
→→
置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,,,使OA=++在单位
(xyz)xiyjzk.
→
正交基底,,下与向量OA对应的有序实数组,,,叫做点在空间直角坐标系中的坐标,记作
{ijk}(xyz)A
A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.
注:空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点
点的位置x轴上y轴上z轴上
坐标的形式,,
(x,0,0)(0y,0)(0,0z)
点的位置Oxy平面内Oyz平面内Ozx平面内
坐标的形式,,,,
(xy,0)(0yz)(x,0z)
(2)空间点的对称问题
①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,才能准确求
解.
②对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.
(3)空间向量的坐标
→
向量的坐标:在空间直角坐标系中,给定向量,作OA=,由空间向量基本定理,存在唯一的
Oxyzaa
有序实数组(x,y
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