第07讲 空间向量的数量积运算9种常见考法归类（原卷版)-新高二数学暑假自学课讲义.pdf

第07讲空间向量的数量积运算9种常见考法归类

掌握空间向量的数量积，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

知识点1空间向量的夹角

→→

如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量

定义a，b的夹角，记作〈a，b〉

范围0≤〈a，b〉≤π

π

向量垂直如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b

2

知识点2空间向量的数量积运算

1．(1)空间向量的数量积

已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零

向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.

(2)运算律

数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R

交换律a·b＝b·a

分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c

2.投影向量及直线与平面所成的角

(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平

b

面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a

|b|

在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．

(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为

——→——→——→

A′，B′，得到向量A′B′，向量A′B′称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，A′B′的夹角就是

向量a所在直线与平面β所成的角．

注意点：

(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.

(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．

①当θ为锐角时，a·b0；但当a·b0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.

②当θ为钝角时，a·b0；但当a·b0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.

(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．

3

知识点空间向量数量积的性质



abe

设，是非零向量，是单位向量，则



abab0

①aeeaacosa,e；②；





2ab

③或；④cosa,b；

aaaaaa

