第1节　平面向量的概念及线性运算.docx

第六章平面向量、复数(必修第二册)

第1节平面向量的概念及线性运算

[课程标准要求]

1向量概念

(1)通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义;

(2)理解平面向量的几何表示和基本要素

2向量运算

(1)借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义;

(2)通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义;

(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义

1向量的有关概念

(1)向量既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模)

(2)零向量长度为0的向量,其方向是任意的

(3)单位向量长度等于1个单位长度的向量

(4)平行向量方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定0与任意向量平行

(5)相等向量长度相等且方向相同的向量

(6)相反向量长度相等且方向相反的向量

2向量的线性运算

向量

运算

定义

法则

(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则

①交换律

a+b=b+a;

②结合律

(a+b)+=a+(b+)

减法

求两个向量差的运算

三角形法则

a-b=a+(-b)

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

①|λa|=|λ||a|;

②当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0

λ(μa)=(λμ)a;

(λ+μ)a=λa+μa;

λ(a+b)=λa+λb

3共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa

提醒只有当a≠0时,定理中的实数λ才唯一,否则不唯一

1若P为线段AB的中点,为平面内任一点,则OP→=12(OA→

2OA→=λOB→+μOC

3若A,B,是平面内不共线的三点,则PA→+PB→+PC→=0

1下列各式化简结果正确的是(B)

AAB→+AC→

BAM→+MB→+BO→+

AB→+BC→-

DAB→-AD→-DC

2(多选题)(2022·山东威海月考)下列说法正确的是(AB)

A非零向量a与b同向是a=b的必要不充分条件

B若AB→与BC→

a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向

D设λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线

解析根据向量的有关概念可知A,B,正确,对于D,当λ=μ=0时,a与b不一定共线,故D错误

3平行四边形ABD中,点E是D的中点,点F是B的一个三等分点(靠近点B),则EF→

A12AB→-13AD

13AB→+12AD

解析因为点E是D的中点,点F是B的一个三等分点(靠近点B),所以EF→=EC→+CF→=12DC→

4设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=?

解析因为向量a,b不平行,所以a+2b≠0,又向量λa+b与a+2b平行,则存在唯一的实数μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,则λ=μ

答案1

5如图,在△AB的内部,D为AB的中点,且OA→+OB→+2OC→=0,则△AB的面积与△A

解析因为D为AB的中点,则OD→=12(OA→+OB→),又OA→+OB→+2

所以为D的中点又因为D为AB的中点,

所以S△A=12S△AD=14S

则S△

答案4

平面向量的基本概念

1给出下列命题

①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;

②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;

③λa=0(λ为实数),则λ必为零;

④所有的单位向量都相等

其中错误命题的个数为()

A1 B2 3 D4

解析①错误,两向量共线要看其方向而不是起点与终点

②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小

③错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0

④错误,两个单位向量方向不一定相同

2设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是(B)

Aa与λa的方向相反

Ba与λ2a的方向相同

|-λa|≥|a|

D|-λa|≥|λ|·a

解析对于A,当λ0时,a与λa的方向相同,当λ0时,a与λa的方向相反,A不正确,B正确;对于,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定,不正确;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小,D不正确

(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性

(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点终点无关

(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈

(4)非零向量a与a|a|

平面向量的线性运算

[例1](1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△AB中,点D在边AB上,BD