第二节 第一课时　函数的单调性与最值.docx

[A组基础保分练]

1．(多选)下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()

A．y＝|x| B．y＝x＋3

C．y＝eq\f(1,x) D．y＝－x2＋4

解析：作出图象逐项判断．

答案：AB

2．函数y＝eq\r(x2＋2x－3)的单调递减区间为()

A．(－∞，－3] B．(－∞，－1]

C．(1，＋∞) D．(－3，－1]

解析：由题意可得该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数g(x)＝x2＋2x－3图象的对称轴为直线x＝－1.由复合函数单调性可知该函数的单调递减区间是(－∞，－3]．

答案：A

3．函数f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上的最大值是()

A.eq\f(3,2) B．－eq\f(8,3)

C．－2 D．2

解析：由f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上是减函数，故当x＝－2时，f(x)的最大值f(－2)＝eq\f(3,2).

答案：A

4．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，则下列关系式正确的是()

A．f(－1)＜f(1)＜f(2)

B．f(1)＜f(2)＜f(－1)

C．f(2)＜f(1)＜f(－1)

D．f(1)＜f(－1)＜f(2)

解析：因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以f(x)在(－∞，2]上单调递减．因为2＞1＞－1，所以f(2)＜f(1)＜f(－1)．

答案：C

5．(多选)若函数f(x)＝x2－4x＋1在定义域A上的值域为[－3,1]，则区间A可能为()

A．[0,4] B．[2,4]

C．[1,4] D．[－3,5]

解析：∵函数f(x)＝x2－4x＋1的图象是开口向上的抛物线，以直线x＝2为对称轴，

∴函数f(x)在区间(－∞，2)上为减函数，[2，＋∞)上为增函数．

当x∈[0,4]时，函数最小值为f(2)＝－3，最大值为f(0)＝f(4)＝1，得函数值域为

[－3,1]；当x∈[2,4]时，函数最小值为f(2)＝－3，最大值为f(4)＝1，得函数值域为[－3,1]；当x∈[1,4]时，函数最小值为f(2)＝－3，∵f(1)＝－2＜f(4)＝1，∴最大值为f(4)＝1，得函数值域为[－3,1]；当x∈[－3,5]时，最小值f(2)＝－3，∵f(－3)＝22＞f(5)＝6，∴最大值为f(－3)＝22，得函数值域为[－3,22]．

根据以上的讨论可得区间A不可能为[－3,5]．

答案：ABC

6．(2023·百校大联考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是()

A．y＝－sinx B．y＝x2－2x＋3

C．y＝ln(x＋1) D．y＝2023eq\s\up12(－\f(x,2))

解析：y＝－sinx和y＝x2－2x＋3在(0，＋∞)上不具备单调性；y＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增．

答案：D

7．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．

解析：由题意知g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x＞1，,0，x＝1，,－x2，x＜1，))

该函数图象如图所示，

其单调递减区间是[0,1)．

答案：[0,1)

8．函数f(x)＝eq\f(x,x－1)(x≥2)的最大值为________．

解析：易得f(x)＝eq\f(x,x－1)＝1＋eq\f(1,x－1)，

当x≥2时，x－1＞0，易知f(x)在[2，＋∞)上是减函数，

∴f(x)max＝f(2)＝1＋eq\f(1,2－1)＝2.

答案：2

9．(2023·临沂模拟)已知函数f(x)＝eq\f(2x＋1,x＋1).

(1)用定义法证明f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数；

(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值与最小值．

(1)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1＋1,x1＋1)－eq\f(2x2＋1,x2＋1)＝eq\f(x1－x2,?x1＋1??x2＋1?).

∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

故函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．

(2)解：由(1)知函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，

∴f(x)max＝f(4)＝eq\f(2×4＋1,4＋1)＝eq\f(9,5