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高考数学概率统计解答题专题

一、归类解析

题型一：离散型随机变量的期望与方差

【解题指导】离散型随机变量的期望和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布

是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊

类型的期望和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相

应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应．

【例】某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示．已知分9

期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，

其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.

付款方式分3期分6期分9期分12期分15期

频数4020a10b

(1)求上表中的a，b值；

(2)若以频率作为概率，求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率P(A)；

(3)求η的分布列及期望E(η)．

【变式训练】某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学生实践中心积极参与，从8名学生会干

部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的

分布列及期望．

题型二：概率与统计的综合应用

【解题指导】概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它

与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．【例】某公司计划购买2

台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为

备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同

时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状

图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器

三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

(1)求X的分布列；

1

(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

【变式训练】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获得利润500元，未售出的

产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经

销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求

量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

(1)将T表示为X的函数；

(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求

量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入

[100,110)的频率)，求T的期望．

题型三：概率与统计案例的综合应用

【解题指导】概率与统计案例的综合应用常涉及相互独立事件同时发生的概率、频率分布直方图的识别

与应用、数字特征、独立性检验等基础知识，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力及

应用意识．

【例】高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某

移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：

每周移动支付次数1次2次3次4次5次6次及以上总计

男1087321545