数学（文）（江苏专用）总复习教师用书：第二章 函数概念与基本初等函数 第讲　对数与对数函数 .docxVIP

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第6讲对数与对数函数

考试要求1。对数的概念及其运算性质，换底公式及应用,B级要求；2。对数函数的概念、图象与性质，B级要求；3.指数函数y＝ax(a0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a〉0，且a≠1）互为反函数，A级要求．

知识梳理

1．对数的概念

如果ax＝N（a〉0,且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质、换底公式与运算性质

（1）对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b（a〉0，且a≠1）．

(2)对数的运算法则

如果a0且a≠1，M〉0，N〉0,那么

①loga（MN）＝logaM＋logaN；

②logaeq\f（M,N)＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R）；

④logamMn＝eq\f(n,m）logaM(m，n∈R,且m≠0）．

(3)对数的重要公式

①换底公式：logbN＝eq\f（logaN,logab)(a,b均大于零且不等于1）；

②logab＝eq\f(1，logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad。

3。对数函数的图象与性质

a〉1

0a1

图象

性质

定义域：(0，＋∞）

值域:R

当x＝1时,y＝0,即过定点（1，0）

当x〉1时,y〉0;

当0x〈1时,y〈0

当x〉1时，y0；

当0〈x〈1时，y0

在(0,＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数

4.反函数

指数函数y＝ax(a〉0,且a≠1）与对数函数y＝logax(a〉0,且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

诊断自测

1．判断正误（在括号内打“√”或“×）

（1)log2x2＝2log2x。()

(2)函数y＝log2（x＋1)是对数函数(）

(3）函数y＝lneq\f（1＋x，1－x）与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．()

(4）当x〉1时，若logaxlogbx，则a〈b.（)

解析(1）log2x2＝2log2|x|,故（1）错．

(2)形如y＝logax（a＞0,且a≠1）为对数函数，故（2）错．

(4）当x＞1时，logax＞logbx,但a与b的大小不确定，故（4)错．

答案(1）×（2）×（3）√(4）×

2．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a〉0，且a≠1）的图象如图，给出下列结论：

①a1，c1；

②a1,0〈c〈1；

③0〈a〈1，c〉1；

④0〈a1，0〈c1.

其中判断正确的结论有________(填序号)．

解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0a〈1。又当x＝0时，y〉0，即logac〉0,所以0〈c〈1.

答案④

3．(必修1P85习题3改编)函数f（x）＝log5(2x＋1）的单调递增区间是________．

解析函数f（x）的定义域为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2），＋∞）），令t＝2x＋1（t0）．

因为y＝log5t在t∈（0，＋∞)上为增函数,t＝2x＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞））上为增函数,

所以函数y＝log5(2x＋1）的单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1，2），＋∞）).

答案eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)，＋∞））

4．(2015·浙江卷）计算:log2eq\f（\r（2)，2)＝________；2log23＋log43＝________。

解析log2eq\f（\r（2），2)＝log2eq\r（2)－log22＝eq\f（1，2)－1＝－eq\f(1,2）；

2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2eq\r(3）＝3eq\r(3）。

答案－eq\f(1，2）3eq\r（3）

5．若logaeq\f(3,4）1(a〉0，且a≠1），则实数a的取值范围是________．

解析当0a〈1时，logaeq\f(3,4)〈logaa＝1，解得0〈aeq\f（3，4)；当a〉1时，logaeq\f(3，4）〈logaa＝1，解得a〉1.

答案eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（3，4））)∪（1，＋∞）

考点一对数的运算

【例1】(1)设2a＝5b＝m，且eq