数学（文）（江苏专用）总复习教师用书：第八章 立体几何初步 第讲　空间几何体及其表面积与体积 .docxVIP

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第4讲空间几何体及其表面积与体积

考试要求1.柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，A级要求；2.柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式,A级要求．

知识梳理

1．空间几何体的结构特征

多面体

(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形．

（2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．

(3）棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形

旋转体

（1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到．

(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．

(3）圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到．

(4）球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到

2．柱、锥、台和球的侧面积和体积

面积

体积

圆柱

S侧＝2πrh

V＝Sh＝πr2h

圆锥

S侧＝πrl

V＝eq\f（1，3）Sh＝eq\f（1，3）πr2h＝eq\f（1，3)πr2eq\r(l2－r2)

圆台

S侧＝π（r1＋r2）l

V＝eq\f（1,3)（S上＋S下＋eq\r（S上S下）)h

＝eq\f(1，3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2）＋r1r2)h

直棱柱

S侧＝Ch

V＝Sh

正棱锥

S侧＝eq\f(1，2）Ch′

V＝eq\f(1,3）Sh

正棱台

S侧＝eq\f（1，2）（C＋C′）h′

V＝eq\f（1,3)(S上＋S下＋eq\r（S上S下））h

球

S球面＝4πR2

V＝eq\f(4,3)πR3

3．几何体的表面积

（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．

(2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．

诊断自测

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”）

（1）有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(）

（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．（）

（3）圆柱的侧面展开图是矩形．（）

(4）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()

（5）已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝eq\f（\r(3),2）a.()

解析

如图中的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行，所以它不是棱柱，故（1）错；（2)有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故（2）错．

答案（1)×（2）×（3）√（4）√(5)√

2．(必修2P55习题3改编）已知圆锥的表面积等于12πcm2,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm。

解析S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2（cm)．

答案2

3．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．

解析设新的底面半径为r，由题意得eq\f（1,3）πr2·4＋πr2·8＝eq\f(1,3)π×52×4＋π×22×8，解得r＝eq\r（7）.

答案eq\r（7)

4．（2016·全国Ⅱ卷改编）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．

解析设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝eq\r(3）a,即R＝eq\r（3）。所以球的表面积S＝4πR2＝12π。

答案12π

5．（2017·无锡期末）三棱锥P－ABC中，D,E分别为PB,PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1,P－ABC的体积为V2,则eq\f(V1,V2）＝________.

解析设A到平面PBC距离为h，则V1＝VA－BDE＝eq\f（1,3)S△BDE·h＝eq\f（1,3)·eq\f(1，4)S△PBC·h＝eq\f（1，4)V2.所以eq\f(V1，V2）＝eq\f(1，4).

答案eq\f(1，4)

考点一空间几何体的结构特征

【例1】给出下列四个命题:

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；

④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．

其中不正确的命