数学（人教A文科）一轮复习真题演练集训：第三章　导数及其应用33 .docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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真题演练集训

1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]设函数f(x)＝ex(2x－1）－ax＋a,其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)＜0，则a的取值范围是(）

A。eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(3,2e)，1）） B.eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（3，2e)，\f（3,4）））

C.eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3,2e）,\f（3,4）)) D。eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3,2e），1）)

答案：D

解析:∵f(0)＝－1＋a＜0,∴x0＝0。

又x0＝0是唯一的整数,

∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(f?－1?≥0，,f?1?≥0,））

即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(e－1[2×?－1?－1]＋a＋a≥0，,e?2×1－1?－a＋a≥0,））

解得a≥eq\f（3，2e)。

又a＜1，∴eq\f(3,2e）≤a＜1,故选D。

2．［2014·陕西卷］如图,某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为(）

A．y＝eq\f（1,125)x3－eq\f(3，5)x B．y＝eq\f（2，125）x3－eq\f(4,5)x

C．y＝eq\f(3,125)x3－x D．y＝－eq\f（3，125）x3＋eq\f(1，5)x

答案：A

解析：设所求函数解析式为y＝f（x），由题意知f（5)＝－2，f（－5）＝2，且f′（±5）＝0，代入验证易得y＝eq\f(1，125)x3－eq\f（3,5)x符合题意，故选A。

3．［2015·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x）＝(x＋1）lnx－a(x－1）．

（1)当a＝4时,求曲线y＝f(x）在（1,f（1))处的切线方程;

(2）若当x∈(1，＋∞)时,f（x)〉0，求a的取值范围．

解:（1）f(x）的定义域为（0，＋∞）．

当a＝4时，f(x)＝(x＋1）lnx－4(x－1）,

f′(x)＝lnx＋eq\f(1，x）－3，f′（1）＝－2，f(1）＝0.

曲线y＝f（x）在（1，f(1）)处的切线方程为2x＋y－2＝0。

（2）当x∈(1，＋∞)时，f(x)0等价于lnx－eq\f（a?x－1?,x＋1)〉0.

设g(x）＝lnx－eq\f（a?x－1?，x＋1),

则g′（x)＝eq\f（1，x）－eq\f（2a，?x＋1?2）＝eq\f(x2＋2?1－a?x＋1，x?x＋1?2）,

g(1)＝0.

①当a≤2，x∈（1，＋∞)时，x2＋2（1－a)x＋1≥x2－2x＋10，故g′(x）0，

g（x）在（1,＋∞）上单调递增，因此g(x）〉0；

②当a〉2时，令g′(x）＝0得

x1＝a－1－eq\r（?a－1?2－1）,

x2＝a－1＋eq\r(?a－1?2－1）。

由x2〉1和x1x2＝1得x1〈1，

故当x∈(1，x2)时，g′（x）〈0，

g(x）在（1，x2)上单调递减，此时g（x）〈g(1）＝0。

综上，a的取值范围是（－∞，2]．

4．［2015·新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝emx＋x2－mx。

（1）证明：f（x）在（－∞，0）单调递减，在(0，＋∞)单调递增；

（2）若对于任意x1，x2∈［－1，1］，都有|f（x1)－f(x2)｜≤e－1，求m的取值范围．

(1）证明：f′（x)＝m(emx－1)＋2x.

若m≥0，则当x∈(－∞,0)时,emx－1≤0，f′（x)〈0；

当x∈(0，＋∞）时，emx－1≥0,f′(x）〉0。

若m〈0，则当x∈(－∞，0）时，emx－10,f′(x)0；

当x∈（0，＋∞）时,emx－1〈0，f′（x)0.

所以，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,＋∞)上单调递增．

（2)解：由（1)知,对任意的m，f（x）在［－1,0］上单调递减，在[0,1］上单调递增，故f（x)在x＝0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈［－1，1］，

｜f(x1)－f(x2）｜≤e－1的充要条件是

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（f?1?－f?0?≤e－1，，f?－1?－f?0?≤e－1，)）

即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(em－m≤e－1，，e－m＋m≤e－1.)）①

设函数g（t）＝et－t－e＋1,则g′（t