浙江专用2019高考数学二轮复习专题五函数与导数不等式第3讲利用导数研究函数的单调性学案201812242184.docVIP

浙江专用2019高考数学二轮复习专题五函数与导数不等式第3讲利用导数研究函数的单调性学案201812242184

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第3讲利用导数研究函数的单调性

高考定位理解导数的几何意义是曲线上某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；常以指数、对数式为载体，考查函数单调性的求法或讨论．

真题感悟

1．(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()

解析利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)＞0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．

答案D

2．(2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．

解(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且a≤0.

f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．

①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增．

②若a0，则由f′(x)＝0，得x＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2))).

当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))))时，f′(x)0；

可得切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,15)，\f(4,15)))，∴切线方程为y＝4x－4，

由题设可知切线相同，∴g′(x)＝－eq\f(k,x2)＝4，

∴x＝eq\r(－\f(k,4))，∴4eq\r(－\f(k,4))－4＝eq\f(k,\r(－\f(k,4)))，

解得k＝－1.

答案(1)y＝2x－2(2)－1

探究提高(1)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．

(2)解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系．

【训练1】(1)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()

A．y＝－2x B．y＝－x

C．y＝2x D．y＝x

(2)(2018·全国Ⅲ卷)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________．

解析(1)法一因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)·(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0.因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.

法二因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，此时f(x)＝x3＋x(经检验，f(x)为奇函数)，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.

法三易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.

(2)y′＝(ax＋1＋a)ex，由曲线在点(0，1)处的切线的斜率为－2，得y′|x＝0＝(ax＋1＋a)ex|x＝0＝1＋a＝－2，所以a＝－3.

答案(1)D(2)－3

热点二求不含参数的函数的单调性

【例2】(2016·北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间．

解(1)f(x)的定义域为R.

∵f′(x)＝ea－x－xea－x＋b＝(1－x)ea－x＋b，

∴依题设，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）＝2e＋2，,f′（2）＝e－1，))即eq\b\l