2024年高中数学(选择性必修第二、三册)精品讲义5.3导数与函数的单调性(学生版+解析).docxVIP

导数与函数的单调性

1函数单调性与导数

在某个区间(a,b)内，若f(x)0，则函数y=f(x)在这个区间内单调递增；

若f(x)0，则函数y=f(x)在这个区间内单调递减．

2若函数y=f(x)在某个区间(a,b)内单调递增，则?x∈a,b,fx≥0(含等号

解释假如存在一区间(c,d)?(a,b)内使得fx=0，那原函数y=f(x)在区间(c,d)内恒等于一个常数，即fx=m(m

函数y=f(x)在某个区间(a,b)内单调递减有类似结论！

【题型一】不含参函数的单调性

【典题1】函数f(x)的定义域为R，且图象如图所示，则不等式xf(x)0的解集为.

【典题2】若函数f(x)=－x3+ax2+4x在区间

【典题3】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f(x)，且对任意实数x都有f(x)+f(x)1，则不等式exf(x)ex

【典题4】求函数f(x)=x

巩固练习

1(★)已知定义在区间(－2,2)上的函数y=f(x)的图象如图所示，若函数f(x)是f(x)的导函数，则不等式f(x)x+1

2(★★)已知x0，a=x，b=x?x2

A．cba B．bac C．cab D．bca

3(★★)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=3，对?x∈R恒有f(x)2，则f(x)≥2x+1

A．[1,+∞) B．(－∞,1] C．(1,+∞) D．(－∞,1)

4(★★)已知函数f(x)=x2－xsinx，若a=f(log0.2

A．abc B．bac C．cba D．bca

5(★★★)若函数f(x)=sin2x－4x－msinx在[0,2π]上单调递减，则实数m的取值范围为()

A．(－2，2) B．[－2，2] C．(－1，1) D．[－1，1]

6(★★★)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)0，f(x)为f(x)的导函数，且2f(x)xf(x)3f(x)对x∈(0,+∞)恒成立，则f(2)f(3)

A．(827,49) B．(?∞,8

7(★★★)求函数fx

【题型二】含参函数的单调性

【典题1】讨论fx

【典题2】已知函数f(x)=ex－2a

【典题3】设函数fx=ex

巩固练习

1(★★)求函数f(x)=alnx－ax－3的单调区间.

2(★★)求函数f(x)=ax2+(2－a)lnx+2的单调性.

3(★★★)求函数f(x)=?1

【题型三】函数单调性的应用

【典题1】已知a5且ae5=5ea，b4且be

A．cba B．bca C．acb D．abc

【典题2】已知0αβπ

A．ααββ B．αα≤

巩固练习

1(★★)若a=ln44,b=ln5.35.3

A．abc B．cba C．cab D．bac

2(★★)若α,β∈[?π2,

A．αβ B．α－β C．αβ D．|α||β|

3(★★)若lnx－lny1lnx?1lny

A．ey?x1 B．ey?x1 C．e

4(★★★)已知α,β∈(0,π)，α≠β，若eα

A．sinαsinβ B．cosαcosβ C．sinαsinβ D．cosαcosβ

导数与函数的单调性

1函数单调性与导数

在某个区间(a,b)内，若f(x)0，则函数y=f(x)在这个区间内单调递增；

若f(x)0，则函数y=f(x)在这个区间内单调递减．

2若函数y=f(x)在某个区间(a,b)内单调递增，则?x∈a,b,fx≥0(含等号

解释假如存在一区间(c,d)?(a,b)内使得fx=0，那原函数y=f(x)在区间(c,d)内恒等于一个常数，即fx=m(m

函数y=f(x)在某个区间(a,b)内单调递减有类似结论！

【题型一】不含参函数的单调性

【典题1】函数f(x)的定义域为R，且图象如图所示，则不等式xf(x)0的解集为.

【解析】由图可知，f(x)在(－∞,?12)和(1

∴当x∈(－∞,?12)∪(12,1)

∵不等式xf(x)0可等价于x0f(x)0或x0

∴当x0时，有x∈(?12

当x0时，有x∈(－∞,?

综上所述，不等式的解集为(－∞,?

【点拨】由原函数y=f(x)图像判断出原函数的单调性，继而得到导函数f(x)的正负性(导函数的穿线图)，再看图易得不等式解集.注意原函数的趋势图与导函数的穿线图之间的转化.

【典题2】若函数f(x)=－x3+ax2+4x在区间

【解析】f(x)=－x3+a

若f(x)在区间(0,2)上单调递增，则－3x2+2ax+4≥0在(0,2)

方法一分