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1.4充分条件与必要条件
1.5全称量词和存在量词
1充分条件与必要条件
概念
一般地,”若p,则q”为真命题,是指以p为已知条件通过推理可以得出q
这时,我们就说,由p可以推出q,记作p?q,并且说,p是q的充分条件,q是p的必要条件.
如果”若p,则q”和它的逆命题”若q,则p
即既有p?q,又有q?p,就记作p?q
此时p即是q的充分条件也是必要条件,我们说p是q的充要条件.
②p是q的______条件(填写是否充分、必要)
完成此题型,可思考
从左到右,若p?q则充分,若p?q则不充分;
从右到左,若q?p则必要,若
Eg:帅哥是男人的______条件.
从左到右,显然若A是个帅哥,那他肯定是男人,即充分;
从右到左,若B是男人,他不一定是帅哥了,即不必要;故答案是充分不必要.
③从集合的角度理解--小范围推得出大范围
(1)命题p、q对应集合A、B,
若A?B,则p?q,即p是q的充分条件;若A?B,则p?q,即p不是q的充分条件.
备注若A?B,则称A为小范围,B为大范围.
Eg1:帅哥是男人的______条件.
设集合A={帅哥},集合B={男人},显然A?B,{帅哥}是小范围,推得出{男人}这个大范围,即充分条件;故答案是充分不必要条件.
Eg2:x1是x2的不充分必要条件,因为
(2)结论
①若p是q的充分不必要条件,则A?B;②若p是q的必要不充分条件,则B?A;
③若p是q的充分条件,则A?B;④若p是q的必要条件,则B?A;
⑤若p是q的充要条件,则A=B.
2全称量词与存在量词
①全称量词
(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“?”表示.
(2)含有全称量词的命题称为全称命题.
全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,记作?x∈M,p(x).
Eg:对所有末位数是0的数能被5整除,?x0,x+1
②存在量词
(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“?”表示.
(2)含有存在量词的命题称为特称命题.
特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”,记作?x∈M,p(x).
Eg:至少有一个质数是偶数,?x0,x
③全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,它们的真假性是相反的.
Eg:?x1,x21的否定是
?x1,x21
【题型一】充分条件与必要条件
【典题1】设a0,b0,则“a+b≥2”是“a2+
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【典题2】若a,b是正整数,则a+bab充要条件是()
A.a=b=1
C.a=b=2
【典题3】若“x2?3x?40”是“
巩固练习
1(★★)已知a0,b0,m∈R,则“a≤b”的一个必要不充分条件是
A.am≤bmB.a
2(★★★)设a,b∈R,命题p:ab,命题q:a|a|b|b|,则p是
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3(★★)在关于x的不等式ax2+2x+10中,“a1
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4(★★★)已知命题p:x2m+1,q:x2-5x+60,且
5(★★★)已知p:(x+1)(2-x)≥0,q:关于x的不等式
(1)当x∈R时q成立,求实数m
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
【题型二】全称量词与存在量词
【典题1】判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
(1)?x∈N,x3x2;
(3)?x0∈R
【典题2】若命题“?x∈[1,4]时,x2-4x-m≠0”是假命题,则m的取值范围.
巩固练习
1(★)命题“?x∈R,x
2(★★)若命题“?x0∈R,3
3(★★)已知命题“?x0∈[-1,1],-x02+3
挑战学霸
设数集S={a,b,c,d}满足下列两个条件:
(1)?x,y∈S,xy∈S;(2)?
现给出如下论断:
①a,b,c,d中必有一个为0;②a,b,c,d中必有一个为1;
③若x∈S且xy=1,则y∈S;④存在互不相等的
其中正确论断的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
1.4充分条件与必要条件
1.5全称量词和存在量词
1充分条件与必要条件
概念
一般地,”若p,则q”为真命题,是指以p为已知条件通过推理可以得出q
这时,我们就说,由p可以推出q,记作p?q,并且说,p是q的充分条件,q是
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