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空间直线、平面的垂直
1线面垂直
①直线与直线垂直
(1)异面直线所成的角
(i)范围:θ∈(0
(ii)作异面直线所成的角:平移法.
如图,在空间任取一点O,过O作a//a,b//b,则a
(2)如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说两条异面直线相互垂直.
②直线与平面垂直
(1)定义
若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面.
符号表述:若任意a?α都有l⊥a,则l⊥α.
(2)判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.
a,b?αa∩b=Ol⊥al⊥b
(3)性质
(i)l⊥α,a?α?l⊥a(线面垂直?
(ii)垂直同一平面的两直线平行
(4)证明线面垂直的方法
定义法(反证)
判定定理(常用)
a//b
α//β
α⊥βa∩β=ba?αa⊥b
③线面所成的角
(1)定义
如下图,平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直平面,则θ=90°;一条直线和平面平行或在平面内,则
(2)范围
直线和平面所成的角θ的取值范围是0°
2面面垂直
①二面角
(1)定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
在二面角的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
(2)范围
二面角的平面角α的取值范围是[0
②面面垂直
(1)定义
若二面角α?l?β的平面角为90°,则α⊥β
(2)判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
a?αa⊥β?α⊥β(线面垂直
(3)性质定理
两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直.
α⊥βα∩β=ABa?αa⊥AB
判断
(1)如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ(√)
(2)如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β(√)
(3)如果平面α⊥平面β,过α内任意一点作交线的垂线,那么此垂线必垂直于β(×)
(4)如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β(√)
【题型一】线面垂直的判定与性质
【典题1】如图,已知△ABC是正三角形,EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点,求证:(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB
【典题2】P为△ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC上的射影.
(1)若PA、PB、PC两两互相垂直,则O点是△ABC的心;
(2)若P到△ABC三边距离相等,且O在△ABC内部,则点O是△ABC的心;
(3)若PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB,则点O是△ABC的心;
(4)若PA、PB、PC与底面ABC成等角,则点O是△ABC的心.
【典题3】如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,E为DC边的中点,沿AE将△ADE折起,在折起过程中,有几个正确()
①ED⊥平面ACD②CD⊥平面BED③BD⊥平面ACD④AD⊥平面BED.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【题型二】面面垂直的判定与性质
【典题1】如图,已知四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中错误的是()
A.平面PAB⊥平面PAD B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD D.平面PCD⊥平面PAD
【典题2】如图,直角△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D、E分别是AB、BC边的中点,沿DE将△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60°.
(Ⅰ)求四棱锥F-ADEC的体积;(Ⅱ)求证:平面ADF⊥平面ACF.
【典题3】长方形ABCD中,AB=2,BC=1,F是线段DC上一动点,且0FC1.将△AFD沿AF折起,使平面AFD⊥平面ABC,在平面ABD内作DK⊥AB于K,设AK=t,则t的值可能为
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