2024年高中数学(必修第二册)精品讲义6.4.3余弦定理、正弦定理2(学生版+解析).docxVIP

余弦定理、正弦定理2

1正弦定理

①正弦定理

asinA=bsinB

②变形

(1)a+b+c

(2)化边为角

a=2Rsin

a:b:c=sinA:sinB:sinC,

a

(3)化角为边

sinA=a2R,sinB=

理由a?

理由

a

a

a

有角有边的等式

化为

只含边的等式

a?

等式(?)中含有三个式子(a?sinB、c?sinC、b?sinC)，每个式子中都有一个sin值，并且它们的次数都是1，则可以把sinB、sinC直接转化为对应的边b、c！

同理a?sinB+

思考以下转化是否正确

(1)a?sinB+c?sinC=b?a?b+c?c=b(错)，

(2)sinA?sinB+sinB?sinC=sin2

④利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题

(1)已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；

Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a，b，c，B=30°，A=45°，b=2，则边a=

(2)已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.

Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,c=2，a=3

(三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理)

⑤三角形解的个数问题

已知两边a、b和其中一边的对角A，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论.

A是锐角

A是直角或钝角

a≥b

absinA

a=bsinA

bsinAab

a≥b

ab

一解

无解

一解

两解

一解

无解

Eg求满足a=5,b=4,A=60°的三角形△ABC个数.

方法1利用正弦定理求解

由正弦定理可得：5sin60°=4

∵ab，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；

方法2图像法

先做出角∠CAB=60°,过点C作CD⊥BC,此时可知CD=235，以

2面积公式

S?ABC=

3余弦定理

①余弦定理

a

②变形

cosA=

③利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题

(1)已知三边，可求三个角；

Eg在△ABC中，若a=4,b=3,c=13，则角C=

(2)已知两边和一角，求第三边和其他两个角.

Eg在△ABC中，A=30°,b=3,c=1，则a=.(角

在△ABC中，A=30°,b=33，a=3,则边c=.(角A不为两边的夹角)

④三角形类型的判断

∠A=π

∠Aπ

∠Aπ

⑤射影定理

a=c?cosB+b?cosC

b=a?cosC+c?cosA

c=b?cosA+a?cosB

?

【题型一】三角形最值问题

【典题1】锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2asinC=3c，a=1，则△ABC周长的范围为

【典题2】边长为1的正方形ABCD的边BC上有一点P，边CD上有一点Q，满足△CPQ的周长为2．

(1)求∠QAP的大小；(2)求△APQ面积的最小值．

巩固练习

1(★★)设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且b=2，A=2B，则a的取值范围为．

2(★★★)在△ABC中，∠B=60°，b=3，若c?2a≤m恒成立，则m的最小值为．

3(★★★)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若c?cosB+bcosC=2a?cosA，M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是．

4(★★★)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若(a+b)(sinA－sinB)=c(sinC+sinB)，b+c=4，则△ABC的面积的最大值为．

5(★★★)已知在△ABC中，∠BAC=2π3，点P在边BC上，且AP⊥AB，

(1)若PC=7，求PB．(2)求2

6(★★★)如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB=60°，∠BCD=120°

(1)若∠ABC=30°，求DC；

(2)记∠ABC=θ，当θ为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值．

【题型二】解三角形应用举例

【典题1】如图，一架飞机以600km/?的速度，沿方位角60°的航向从A地出发向B地飞行，飞行了36min后到达E地，飞机由于天气原因按命令