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习题三
1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表:
X
X
Y
0
1
2
3
1
0
0
3
0
0
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表:
X
X
Y
0
1
2
3
0
0
0
1
0
2
P(0黑,2红,2白)=
0
3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
F(x,y)=
求二维随机变量(X,Y)在长方形域内的概率.
【解】如图
题3图
说明:也可先求出密度函数,再求概率。
4.设随机变量(X,Y)的分布密度
f(x,y)=
求:(1)常数A;
(2)随机变量(X,Y)的分布函数;
(3)P{0≤X1,0≤Y2}.
【解】(1)由
得A=12
(2)由定义,有
(3)
5.设随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
(1)确定常数k;
(2)求P{X<1,Y<3};
(3)求P{X1.5};
(4)求P{X+Y≤4}.
【解】(1)由性质有
故
(2)
(3)
(4)
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的密度函数为
fY(y)=
求:(1)X与Y的联合分布密度;(2)P{Y≤X}.
题6图
【解】(1)因X在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X的密度函数为
而
所以
(2)
7.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
F(x,y)=
求(X,Y)的联合分布密度.
【解】
8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
求边缘概率密度.
【解】
题8图题9图
9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
求边缘概率密度.
【解】
题10图
10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
(1)试确定常数c;
(2)求边缘概率密度.
【解】(1)
得.
(2)
11.设随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
求条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y).
题11图
【解】
所以
12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.
(1)求X与Y的联合概率分布;
(2)X与Y是否相互独立?
【解】(1)X与Y的联合分布律如下表
Y
Y
X
3
4
5
1
2
0
3
0
0
(2)因
故X与Y不独立
13.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
X
X
Y
258
0.4
0.8
0.150.300.35
0.050.120.03
(1)求关于X和关于Y的边缘分布;
(2)X与Y是否相互独立?
【解】(1)X和Y的边缘分布如下表
X
X
Y
2
5
8
P{Y=yi}
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.8
0.05
0.12
0.03
0.2
0.2
0.42
0.38
(2)因
故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为
fY(y)=
(1)求X和Y的联合概率密度;
(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.
【解】(1)因
故
题14图
(2)方程有实根的条件是
故X2≥Y,
从而方程有实根的概率为:
15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X和Y相互独立,且服从同一分布,其概率密度为
f(x)=
求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数
(1)当z≤0时,
(2)当0z1时,(这时当x=1000时,y=)(如图a)
题15图
(3)当z≥1时,(这时当y=103时,x=103z)(如图b)
即
故
16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机地选取4只,求其中没有一只寿命小于180的概率.
【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4),则Xi~N(160,202),
从而
17.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为
P{X=k}=p(k),k=0,1,2,…,
P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,….
证明随机变量Z=X+Y的分
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