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专题23复数经典问题
【考点预料】
一.基本概念
(1)叫虚数单位,满意,当时,.
(2)形如的数叫复数,记作.
=1\*GB3①复数与复平面上的点一一对应,叫z的实部,b叫z的虚部;Z点组成实轴;叫虚数;且,z叫纯虚数,纯虚数对应点组成虚轴(不包括原点)。两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
=2\*GB3②两个复数相等(两复数对应同一点)
=3\*GB3③复数的模:复数的模,也就是向量的模,即有向线段的长度,其计算公式为,明显,.
二.基本性质
1、复数运算
(1)
(2)
其中,叫z的模;是的共轭复数.
(3).
实数的全部运算律(加法和乘法的交换律、结合律、支配律及整数指数幂运算法则)都适用于复数.
2、复数的几何意义
(1)复数对应平面内的点;
(2)复数对应平面对量;
(3)复平面内实轴上的点表示实数,除原点外虚轴上的点表示虚数,各象限内的点都表示复数.
(4)复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
【典例例题】
例1.(2024·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预料)已知复数,则的实部为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,
所以,
所以,
所以的实部为.
故选:A.
例2.(2024春·广东·高三统考开学考试)已知复数满意,其中为虚数单位,则的实部为(????)
A.1 B. C.0 D.
【答案】C
【解析】,
所以,,
的实部为0.
故选:C
例3.(2024春·广东广州·高三统考阶段练习)已知复平面内点对应的复数为z,则复数的虚部是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意,则,其虚部为.
故选:B
例4.(2024·四川成都·高三成都七中校考阶段练习)复数z满意:(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设,则,
由得,
,解得,
.
故选:A.
例5.(2024·全国·高三校联考阶段练习)已知i为虚数单位,复数z的共轭复数为,且,则(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设,则,
,则,,
∴.
故选:B.
例6.(2024春·江苏常州·高三校联考开学考试)若复数是纯虚数,则(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】为纯虚数,
,,
故选:.
例7.(2024春·河南新乡·高三校联考开学考试)已知,且为实数,则实数(????)
A. B. C.1 D.2
【答案】A
【解析】因为为实数,所以.
故选:A
例8.(2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知,若复数为纯虚数,则复数在复平面内对应的点所在的象限为(????)
A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】复数是纯虚数,
,且,故,
.
故复数在复平面内对应的点在第一象限,
故选:A.
例9.(2024·浙江·高三期末)已知复数(其中i为虚数单位),若,则(????)
A.1 B. C.1或 D.或5
【答案】C
【解析】由题意得,则,
所以,解得或,
故选:C
例10.(2024·四川乐山·统考一模)设复数z满意,z在复平面内对应的点为,则(????)
A.?? B. C. D.
【答案】B
【解析】复数z满意,即,
其几何意义为复平面内的点到点和点的距离相等,
即点的轨迹为和的垂直平分线,
即z在复平面内对应的点在直线上,故,
故选:B
例11.(2024春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试)已知(是虚数单位)是关于的方程的一个根,则(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为是关于的方程的一个根,所以也是方程的根.
依据根与系数的关系可得
即得,
所以
故选:A.
例12.(2024·高三课时练习)若且,则的最小值为_______.
【答案】3
【解析】表示圆心为,半径为1的圆,而表示圆上的点到的距离,
∴最小值为圆心到点的距离减1,即最小值为,
如图所示.
故答案为:3.
例13.(2024·高三课时练习)已知复数,则______.
【答案】
【解析】,
∴,
∴.
故答案为:.
【技能提升训练】
一、单选题
1.(2024·江苏扬州·高三校联考期末)若i为虚数单位,复数z满意,则z的实部为(????).
A. B.3 C. D.2
【答案】D
【解析】,
则,
则z的实部为.
故选:D.
2.(2024·湖南益阳·高三统考期末)设复数,则(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设,则,
∵,
∴,即:,
∴,
∴
∴.
故选:D.
3.(2024·山东德州·高三统考期末)已知复数z满意3z-1=(z+2)i,则z=(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设复数,代入,有,
则,
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