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江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高一下学期5月学情调研测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在复平面内，复数对应的点所在的象限是（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知向量，，若，则实数（????）

A． B． C． D．6

3．已知中内角的对边分别为，若，，则（????）

A． B． C． D．

4．下列说法正确的是（????）

A．若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面；

B．与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线；

C．空间三点确定一个平面；

D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．

5．已知三个单位向量，，满足，则与的夹角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

6．在四棱锥中，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（????）

A．3 B．4 C． D．

7．在中，，的角平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，则（）

A． B． C． D．

8．已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：

甲：；????乙：；

丙：；????丁：．

如果只有一个等式不成立，则该等式为（????）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

二、多选题

9．已知、都是复数，下列选项正确的是（????）

A．若，则； B．若，则；

C．若，则； D．若，则．

10．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则（????）

A．

B．直线，，交于同一点

C．直线与直线所成角的正切值为

D．平面截正方体所得的截面周长为

11．如图所示，、、、、、、、都是等腰直角三角形，且按照顺序，每一个三角形的斜边都是它后一个等腰三角形的一条腰，点P、Q、M、N分别是线段、、、上的动点（包含端点），且，，，，，则（）

A．

B．

C．在方向上的投影向量为

D．的最大值为8

三、填空题

12．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为．

13．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值（记为m）也可以表示为．若，则．

14．钝角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为．

四、解答题

15．已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数）

(1)若z为纯虚数，求m的值；

(2)若，求m的值．

16．已知，，与的夹角为.

(1)求；

(2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.

17．如图所示，已知平面，平面，为等边三角形，，F为CD的中点．

求证：

(1)平面；

(2)．

18．已知函数．

(1)求的最小正周期及单调递增区间；

(2)当时，求的最大值和最小值，以及相应x的值；

(3)若，，求的值．

19．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．

??

(1)若，求的值；

(2)过点B作BC的垂线l，D为l上一点．

①若，，求线段AD的长；

②若且D点在外部，求线段AD长的取值范围．

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参考答案：

1．D

【分析】利用复数的乘法化简复数，即可判断出复数在复平面内对应的点所在的象限.

【详解】复数，复平面内，对应的点为，在第四象限.

故选：D.

2．A

【分析】由向量垂直的坐标表示即可求得答案.

【详解】因为向量，，且，

所以，解得，

故选：A.

3．C

【分析】根据正弦定理计算可得.

【详解】由正弦定理可得,

再由和比定理得.

故选：C.

4．B

【分析】根据空间中直线与直线位置关系可判断A；根据异面直线的概念可判断B；根据平面的基本性质可判断C；根据空间异面直线所成角可判断D.

【详解】对A，若空间两直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故A错误；

对B，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，则两直线为异面直线，若交于三个点，则两直线为相交直线，故B正确；

对C，由平面的基本性质可知，空间不共线的三点可以确定一个平面，故C错误；

对D，过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直，故D错误；

故选：B.

5．A

【分析】两边平方，根据，，为单位向量，得到方程，求出与的夹角的余弦值.

【详解】两边平方得，

因为，，为单位向量，所以，

解得.

故选：A

6．D

【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行