第八九章--重积分.pptVIP

02七月2024第八九章重积分

§1.二重积分的概念1.平面集合的面积

2.二重积分的定义设是平面上的一个有界闭区域.是零面积集合.是定义在上的函数.用两组相互横截的曲线将分成个小区域.并进一步假定分割的曲线都是零面积的.令.再任取,考察和记

如果存在数,对,,使得只要,不论分割曲线组及中间点如何选取，那么就称在上可积.称为在上的二重积分.记作或.

3.可积的必要条件与充分条件定理1.1若在可求面积的有界闭区域上可积,则在上有界.定理1.2设是平面上有界闭区域,边界是零面积集合.又设在上连续,则在上可积.

4.二重积分的基本性质(1)(2)

(3)(区域可加性)设且,都是可求面积的,在上均可积,则在上可积,且.

(4)若,,则.

(5)积分中值定理设在可求面积的有界闭区域上连续,则在上至少存在一点,使得,其中的面积.

§2.二重积分的计算1.化二重积分为累次积分定理2.1设在有界闭区域连续,,其中是上连续函数,则,上式右端积分称为累次积分.

例1求.例2求.例3写出所对应的累次积分,其中由所围.

2.利用对称性化简计算例4.设,求,.例5.求.

3.极坐标下二重积分的计算定理2.2设为可求面积的有界闭区域,在上可积,则其中.

例6.设,,求.例7.将用极坐标化成二次积分,其中为(1)(2)由