数列求和的几种常用方法.docx

专题:数列求和的几种常用方法

知识点归纳

1等差数列的前n项和公式,等比数列的前n项和公式：

S=na

n 1

n(n 1)

2

d Sn=

n(a a)

1 n

2

S=na

n n

n(n 1)d

2

当d≠0时，S是关于n的二次式且常数项为0；

n

当d=0时（a≠0），S

1 n

=na

1

是关于n的正比例式

当q=1时，S

n

=na

1

(是关于n的正比例式)；

当q≠1时，S

a(1 qn)

= 1

a aq

S= 1 n

n 1 q n 1 q

2．基本公式法：○1

1

等差、等比数列的前

n 项和公式、○2

12 22

n2 n n 1 2n 1、

6

○313

23 33

1

n3 n n 1

4

2、○4C0

n

C1 C2

n n

Cn 2nn

拆项法求数列的和，如a=2n+3n

n

错位相减法求和，如a=(2n-1)2n

n

（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）

1 1

分裂项法求和，如a=1/n(n+1)

n n n 1

（分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）

反序相加法求和，如a=nC

n

n100

求数列{a}的最大、最小项的方法：

n

0

①a -a=…… 0 如a=-2n2+29n-3

n+1 n n

0

a

② n1

1

1 (a0)如a=

9n(n 1)

a n n

n 1

10n

n

③a=f(n)研究函数f(n)的增减性如a=

n n n2

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题型讲解

例7（分情况讨论）求和：S

n

an an1b an2b2

a2bn2 abn1 bn(n N*)

解：①当a=0或b=0时，S

n

bn(an)

②当a=b时，S

n

③当a b时，S

n

(n 1)an；

an1 bn1

a b

例8（分部求和法）已知等差数列a

n

的首项为1，前10项的和为145，求

a a a .

2 4 2n

解：首先由S

10

10a

1

10 9 d

2

145 d 3

则a a

n 1

(n 1)d 3n 2 a

2n

32n 2

a a a

2 4 2n

3(222

2n)2n 3

2(12n)

1 2

2n 32n1 2n 6

1

练习（分部求和法）求数列1，3＋

3

解：其和为：

1

，32＋

32

1

，……，3n＋

3n

的各项的和

1

(1＋3＋……＋3n)＋(

3

1 1

＋……＋

32 3n

3n1 1

)=

2

1 3n 1

=

2 2

(3n＋1-3-n)

1 1 1

例9（裂项求和法）1

1

,(n N*)

12 123 1234 123 n

解： a

1

k 1 2 k

2

，

k(k 1)

1 1 1

S 2[ ]

n 12 23 n(n 1)

2[1

1 1 1

1 1 1 2n

21

2 2 3

n n 1

n 1 n 1

练习（裂项求和法）已知数列a

n

n 1

为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：

aa

i1 ii1

n 1

解：首先考虑

n 1 1 1

( )

aa

i1 ii1

d a a

i1 i i1

n 1 1 1 1 n

则 = ( )

aa d a a

i1 ii1 1 n1

aa

1 n1

点评：已知数列a

n

为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和

aai i1

a

a

i i1

a

a

i1 i

d

i1 i1

也可用裂项求和法

例10（错位相减法）1.设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和解：①若a=0时，S=0

n

②若a=1，则S

=1+2+3+…+n=1

n 2

n(n 1)

③若a≠1，a≠0时，S

a

-aS=a（1+a+…+an-1-nan），

n n

S=

n (1 a)2

[1 (n 1)an

nan1]

练习（错位相减法）2.已知a 0,a 1，数列a

n

是首项为a，公比也为a的等比数列，

令b a

n n

lga

n

(n N)，求数列b

n

的前n项和S

n

解： a

n

an,b

n

nan

lga

S (a 2a2