第一节　导数的概念及其意义、导数的运算.docx

[A组基础保分练]

1．若f′(x0)＝－3，则eq\o(lim,\s\do12(h→0))eq\f(f?x0＋h?－f?x0－h?,h)＝()

A．－3 B．－6

C．－9 D．－12

解析：f′(x0)＝－3，则eq\o(lim,\s\do12(h→0))eq\f(f?x0＋h?－f?x0－h?,h)

＝eq\o(lim,\s\do12(h→0))eq\f(f?x0＋h?－f?x0?＋f?x0?－f?x0－h?,h)

＝eq\o(lim,\s\do12(h→0))eq\f(f?x0＋h?－f?x0?,h)＋eq\o(lim,\s\do12(-h→0))eq\f(f?x0－h?－f?x0?,－h)

＝2f′(x0)＝－6.

答案：B

2．(2023·深圳质量检测)曲线y＝(x3－3x)·lnx在点(1,0)处的切线方程为()

A．2x＋y－2＝0 B．x＋2y－1＝0

C．x＋y－1＝0 D．4x＋y－4＝0

解析：y′＝(3x2－3)·lnx＋eq\f(1,x)·(x3－3x)，故所求切线斜率k＝y′|x＝1＝－2，故所求切线方程为y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.

答案：A

3．已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系是()

A．f(－1)＞f(1) B．f(－1)＝f(1)

C．f(－1)＜f(1) D．不能确定

解析：由函数的解析式可得f′(x)＝2x＋2f′(1)，

令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，

解得f′(1)＝－2，

则函数的解析式为f(x)＝x2－4x，所以f(－1)＝5，f(1)＝－3，所以f(－1)＞f(1)．

答案：A

4．(2023·衡水二中月考)曲线y＝x－x3在横坐标为1的点处的切线为l，则点M(1,2)到直线l的距离为()

A.eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(\r(5),5)

C.eq\f(2,5) D.eq\f(4,5)

解析：y′＝1－3x2，则切线l的斜率k＝y′|x＝1＝－2，又易知切点为(1,0)，所以切线l的方程为2x＋y－2＝0，则点M(1,2)到直线l的距离为eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).

答案：A

5．函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是()

A．(－∞，2] B．(－∞，2)

C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)

解析：函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝eq\f(1,x)＋a＝2在(0，＋∞)上有解，即a＝2－eq\f(1,x).

因为x＞0，所以2－eq\f(1,x)＜2，所以a的取值范围是(－∞，2)．

答案：B

6．水滴落在水面上形成同心圆水波，最外边的圆的半径以6m/s的速度向外扩大，则从水滴接触水面后2s末时圆面积的变化速率为()

A．24πm2/s B．36πm2/s

C．72πm2/s D．144πm2/s

解析：由题意可知，水滴接触水面后半径R与时间t的关系为R＝6t，

则圆的面积S＝πR2＝π×(6t)2＝36πt2，

求导，可得S′＝72πt，

令t＝2，可得2s末时圆面积的变化速率为

72π×2＝144π(m2/s)．

答案：D

7．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函数的是()

A．f(x)＝sinx＋cosx

B．f(x)＝lnx－2x

C．f(x)＝x3＋2x－1

D．f(x)＝xex

解析：对于A：f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx，∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴f″(x)＜0，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函数，故A正确．

对于B：f′(x)＝eq\f(1,x)－2，f″(x)＝－eq\f(1,x2)＜0，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函数，故B正确；

对于C：f′(x)＝3x2＋2，f″(x)＝6x＞0，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)