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第10讲用空间向量研究直线、平面的位置关系
4种常见方法归类
1.理解与掌握直线的方向向量,平面的法向量.
2.会用方向向量,法向量证明线线、线面、面面间的平行关系;会用平面法向量证明线面和面面垂直,
并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.
知识点1空间中点、直线和平面的向量表示
1.空间直线的向量表示式
→
AB
设A是直线上一点,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上任意一点,
→→→
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使AP=ta,即AP=tAB.
→→
(2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使OP=OA+ta.
→→→
(3)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OP=OA+tAB.
注意点:
(1)空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线
与l平行或重合.
(2)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量.与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向
量,且直线l的方向向量有无数个.
(3)空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
2.空间平面的向量表示式
①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a和b,P为平面α内任意一点,由平面向量基本
→
定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得OP=xa+yb.
→→
②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使OP=OA+
→→
ABAC
x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.
③由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,
→
那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·AP=0}.
注意点:
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无限多个,它们相互平行.
易错辨析:
(1)空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗?答案:能
(2)一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面?答案:不一定,若两个定方向向量共线时不能确定,
若两个定方向向量不共线能确定.
(3)由空间点A和直线l的方向向量能表示直线上的任意一点?答案:能
知识点2空间平行、垂直关系的向量表示
设u,u分别是直线l,l的方向向量,n,n分别是平面α,β的法向量.
121212
线线平行l∥l⇔u∥u⇔∃λ∈R,使得u=λu证明线线平行的两种思路:①用基向量表示出要证明的两条
121212
注:此处不考虑线线重合的情况.但直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充
用向量方法证明线线平行时,必须说要条件证明.②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用
明两直线不重合向量平行的坐标表示.
线面
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