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第06讲空间向量及其线性运算4种常见考法归类
1.理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空
间距离的求解.
2.利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.
知识点1空间向量的有关概念
1.在空间,把具有方向和大小的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
注:数学中讨论的向量与向量的起点无关,只与大小和方向有关,只要不改变大小和方向,空间向量
可在空间内任意平移,故我们称之为自由向量。
2.表示法:
(1)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模
→→
(2)字母表示法:用字母表示,若向量a的起点是A,终点是B,则a也可记作AB,其模记为|a|或|AB|.
3.几类特殊的空间向量
名称定义表示法
零向
规定长度为0的向量叫做零向量记为0
量
单位|a|=1或
模为1的向量叫做单位向量
向量―→
|AB|=1
相反
与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量记为-a
向量
共线如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共a∥b或
向量线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a―→―→
AB∥CD
相等方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向a=b或
向量量或相等向量―→―→
AB=CD
注意点:
(1)平面向量是一种特殊的空间向量.
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等,方向相同.
(3)向量不能比较大小.
(4)共线向量不一定具备传递性,比如0.
易错辨析:
(1)空间向量就是空间中的一条有向线段?答:有向线段是空间向量的一种表示形式,但不能把二者
完全等同起来.
(2)单位向量都相等?答:单位向量长度相等,方向不确定
(3)共线的单位向量都相等?答:共线的单位向量是相等向量或相反向量
(4)若将所有空间单位向量的起点放在同一点,则终点围成一个圆?答:将所有空间单位向量的起点
放在同一点,则终点围成一个球
(5)任一向量与它的相反向量不相等?答:零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等
的.
(6)若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反?答:|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向
不确定
→→→→→→
ABCDABCDABCD
(7)若向量,满足||||,则?答:向量不能比较大小
(8)空间中,a∥b,b∥c,则a∥c?答:平行向量不一定具有传递性,当b=0时,a与c
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