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第04讲利用几何法解决空间角和距离19种常见考法归类
学会利用几何法求空间角及空间距离.
1、异面直线所成的角
(1)定义:已知a,b是两条异面直线,经过空间任意一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的角叫
做异面直线与所成的角或夹角.
ab()
π
0,
(2)范围:2.
注:两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直
线所成的角,也可能等于其补角.
2、直线和平面所成的角
(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角,一条直线
垂直于平面,则它们所成的角是;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是
90°0°.
π
0,
(2)范围:2.
3、二面角
(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角
若有①∈;②⊂,⊂;③⊥,⊥,则二面角--的平面角是∠.
OlOAαOBβOAlOBlαlβAOB
(3)二面角的平面角α的范围:0°≤α≤180°.
4、点到平面的距离
已知点是平面外的任意一点,过点作PA,垂足为,则唯一,则是点到平面
PPAPAPAP
的距离。即:一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离(转化为点到点的距离)
结论:连结平面外一点与内一点所得的线段中,垂线段最短.
PPA
1、求异面直线所成的角的方法和步骤
(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;
利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.
(2)求异面直线所成角一般步骤:一作、二证、三求
①平移:经常选择端点、中点、等分点,通过作三角形的中位线,平行四边形等进行平移,平移异面
“”
直线中的一条或两条成为相交直线,作出异面直线所成的角.
②证明:证明所作的角是异面直线所成的角.
③寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之.
④取舍:因为异面直线所成角的取值范围是0,,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异
2
面直线所成的角.
2求直线与平面所成的角的方法和步骤
、
(1)垂线法求线面角:
①先确定斜线与平面,找到线面的交点B为斜足;找线在面外的一点A,过点A向平面做垂线,确
定垂足;
O
②连结斜足与垂足为斜线在面上的投影;投影与斜线之间的夹角为线面角;
ABBOAB
③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形).
(2)平移法求线面角
是指利用图形平移变换
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