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椭圆的解题方法和技巧

椭圆的解题方法和技巧

安徽省宿州市褚兰中学海平

椭圆的定义的应用

椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。

?例1?的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。求顶点的轨迹。

?分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。

?解析：∵、、成等差数列，∴，即，

?又，∴。

?根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。

?又∵，∴，即，

?∴，∴。

?故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。又当时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴。

?∴点的轨迹方程为。

评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。

?例2?、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2，试判断的形状。

?分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。

?解析：由，解得。

?又，故满足。

??∴为直角三角形。

?评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。

二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。

例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,,求椭圆的方程.

【解析】设椭圆方程为（m＞0,n＞0且m≠n）.

∵椭圆经过，点，∴，点坐标适合椭圆方程，

则①6m+n=1，②3m+2n=1，①②两式联立，解得m=,n=.

∴所求椭圆方程为

?评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0,n＞0,m≠n），由题目所给条件求出m，n即可.