(完整word版)No.31全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc

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No.31高中数学联赛模拟试卷

1、已知的大小关系是.

2、设，且恒成立，则的最大值为

3、对于的一切实数，使不等式都成立的实数的取值范围是

4、已知，设，，，那么的大小关系是

5、不等式的解集是.

6、函数的最小值为

7、若，且，则的最小值是.

8、若，则的最大值是．

9、设，求的最小值．

10、求，则s的整数部分

11、圆周上写着红蓝两色的数。已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明，所有红色数之和等于0。（俄罗斯）

12、设，求证：．

（第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）

乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题2参考答案

1、解法1，.

.

解法2，.

解法3

=.

解法4原问题等价于比较与的大小.由得，.

.

ABCxyOb-abb+a图1解法5如图1，在函数的图象上取三个不同的点A（，）、B（，）、C（，）.

A

B

C

x

y

Ob-abb+a

图1

由图象，显然有，即，

即，亦即.

解法6令，单调递减，而，，即，.

2、解法1原式．．而

+，且当，即时取等号．．．故选．

解法2，，已知不等式化为

．由，即，故由已知得，选．

解法3由，知，有．又，

即，由题意，．故选．

解法4，．已知不等式可变形为

．记，

则．由题意，．故选．

解法5于是

．比较得．故选．

3、解法1题设等价于或或，即或或,所以或或，即.

解法2已知不等式即，令，则

当，即时，是的一次函数，因为，即时不等式恒成立，所以在上的图象恒在轴的下方，故有，即，解得.

又当时，，适合题意，当时，不合题意.

故的取值范围是.

4、解法1设，.，而是减函数，

，即.，，

.，即.故.

解法2由题意，令，则，，，，，，是减函数，又，，即..

解法3、，，是单调减函数，，.

，.又

，即

，.

5、解设y=，由，得定义域为[，3].

即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为[，3].

题目改为“的解集是，结果一样。

6、解法1.因为两个互为倒数的数，在它们等于时，其和可以取到绝对值的最小值.即当，即或时，的绝对值最小.又，故时，的绝对值最小.又，.选.

解法2因为，联想到，于是令，，则.

，当且仅当，即时，.故选.

解法3设，.

，.

，即.故选.

解法4.由此联想到万能公式:

，故令，则，

.又，,,即..故选.

解法5，，当且仅当，即时取等号..故选.

解法6，，当时取等号.故选.

解法7由去分母并整理，得.，，即，或.，

，.当时，由，解得，.故选.

7、证明，于是，

，当且仅当时取等号，的最小值是.

推广2若，且，则

的最小值是.

证明，，

.

同理.故

，当且仅当

时取等号.的最小值是.

推广3若，且，则的最小值是

.

证明由均值不等式得，

,

从而

，

当且仅当时取等号.故的最小值是.

8、解法1引入参数t,，

又，

．考虑到待求最值的二元式是，故令，解得或（舍去），故只需令，即可得．因此，，当且仅当，即时取等号.．

解法2已知条件式即.令

即代入待求式,并化简,

得.故当且仅当时，有最大值160．

解法3令.从而有即代入已知等式,得,

即．

解法4,而

即．

解法5设代入条件得

令,则

．

解法6设则

即①.由题设x,y不同时为0,故不妨设,则将①式两边同除以,得当时,

由解得;当时,．

综上,.故．

解法7.

故当时,．

9BA．解可从绝对值的几何意义上去想，以为例，如图：

B

A

1234

所给的式子的几何意义是数轴上坐标为的点N与坐标为1、2、3、4的4个点的距离的和．显然，当N在线段AB之外时，和大于N在线段AB上时的和；当N在线段AB上时，N接近AB的中点，和就逐渐变小，N重合于AB的中点时，和达到最小．因为，所以当取2或3时，最小．

对于和式S=，设数轴上的点A、B分别表示1949、2001，则线段AB的中点的坐标是

．

拓展运用同样的思想方法，可以得到下面的

定理1对于函数，

若是奇数，则当时，取得最小值；

若是偶数，则当时，取得最小值

10、解若是等差数列,0,则

(是公差).由此，得

.

又知=

.，，

评析显然是数列的前项的和，直接求和，无法可依.能否用裂项相消法将每一项拆成异号的两项之和呢？考虑到，于