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练习、二次根式

练习、二次根式

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9/19/2014

练习、二次根式

a二次根式：式子

a

（a≥0）叫做二次根式。

最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

二次根式的性质：

a（a＞0）

a（1）（

a

）2=a（a≥0）； （2）

?a? 0（a=0）；

a2?a（

a2

二次根式的运算：

因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

b二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

b

ababba= · （a≥0，b≥0

ab

a

b

b

a

? （b≥0，a0）．

a有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

a

例1下列各式1）

,2) ?5,3)? x2?2,4) 4,5) (? )2,6) 1?a,7) a2?2a?1，

1 15 3

1 1

其中是二次根式的是 （填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围

x?53?

x?5

3?x

(x-2)2

（1） ；（2）

例3.在根式1) a2?b2;2)

x;3) x2?xy;4)5

27abc，最简二次根式是

27abc

1?8x

1?8x

1,求代数式

x?

y?2的值。

8x?1x?y?

8x?1

x?y?2

y x

1－a－b例5.

1

－a－b

1

例6.先化简，再求值：

?1?

b

5?15

5?1

5?1

a?b b a(a?b) 2 2

例7.在实数范围内分解因式。（1）

例8.比较数值

、根式变形法

a当a?0,b?0时，①如果a?b，则

a

； （2）

bba；②如果a?b，则 ? 。

b

b

a

3例、比较3 5与5

3

的大小。

3、平方法

3

当a?0,b?0时，①如果a2

b2，则a?b；②如果a2

?b2，则a?b。【例】比较3 2与2

的大小。

、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。【例】比较

2 1

3?

3?1

2?1

、分子有理化法

151414通过分子有理化，利用分母的大小来比较。【例】比较 ? 与 ? 13的大小。

15

14

14

656、倒数法

6

5

6

7【例】比较

7

与 ?

的大小。

87、媒介传递法

87

7适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。【例】比较

7

3与

?3的大小。

、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①a?b?0?a?b；②a?b?0?a?b

【例】比较

?1

2323

2

3

2

3?1

、求商比较法

a

它运用如下性质：当a0，b0时，则：①

b

a

?1?a?b；②

b

?1?a?b 【例】比较5?

与2?

33的大小。

3

3

例9、规律性问题

观察下列各式及其验证过程：

，验证： ；

验证: .

415按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想

4

15

的变形结果，并进行验证；

针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.

已知 ，则a

发展：已知

例10、

1、化简下列各式：

4?

4?23

2（2）

2

，则a 。

5?26

5?26

ab

a? b

a? b

的值为（ ）A．2

2B．2 C．

2

1

D．2

【练习题】

27131、下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ）

27

1

3

1212与

1

2

18与

C． 3与 D． 45与54

a2?112

a2?1

1

2

27

8

3、若 ，则 的取值范围是（ ）A．B．C．D．

4、下列计算