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第四章图形的相似*5相似三角形判定定理的证明
数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS
数学九年级上册BS版01课前预习
三角形相似的判定定理.(1)定理一:?;(2)定理二:?;(3)定理三:?.两角分别相等的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似三边成比例的两个三角形相似
数学九年级上册BS版02典例讲练
如图,在等边三角形ABC中,点D,E,F分别是三边上的
点,且AE=BF=CD,那么△ABC与△DEF相似吗?请说明
理由.【思路导航】证明△DEF是等边三角形,可得∠EDF=∠A=
∠B=∠DEF=60°,这样就可以证明△ABC∽△DEF.
?
【点拨】在等边三角形三边上取三点,截取三条相等线段,无
论三截点怎么变化,截出的含顶角的三个小三角形都全等,中
间小三角形一定是等边三角形.特别地,若截点是各边中点,则
四个三角形都是等边三角形.
如图,在Rt△ABC中,已知∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,分
别以AC,BC为边向三角形外部作等边三角形ACE和等边三角
形BCF,连接DE,DF.证明:△ADE∽△CDF.
?
?
?
?
证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠DAB=90°.∴∠GBA+∠AEG=90°.∵AG⊥BE,∴∠EGA=∠AGB=90°.∴∠EAG+∠AEG=90°.∴∠EAG=∠GBA.∴△AGE∽△BGA.?
【点拨】当无法证明“比例式”或“等积式”线段所在的两个
三角形相似时,可以考虑“等线段替换”或者“等比替换”,
将问题进行转化.
如图,在菱形ABCD中,已知∠ABC=60°,点E是射线CB上
一点,点F是线段CD上一点,且∠EAF=120°,求证:AE·CF
=AF·BC.
证明:如答图,连接AC.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,AD∥BC.∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.∴∠ACB=∠BAC=60°,AC=BC.∵AD∥BC,∠ABC=60°,∴∠BAD=120°,∠CAD=∠ACB=∠ACF=60°.又∵∠EAF=120°,答图
∴∠EAB=∠FAD.设∠EAB=∠FAD=α,则∠E=∠ABC-α=60°-α.∵∠CAF=∠CAD-∠FAD=60°-α,∴∠E=∠CAF.又∵∠ACF=∠ACB=60°,∴△ACF∽△ECA.?∵AC=BC,答图?∴AE·CF=AF·BC.答图
已知点E是矩形ABCD的边BC上一点,连接AE,过点E作EF
⊥AE于点E,分别交AC,CD于点M,F.过点B作BG⊥AC
于点G,交AE于点H.(1)如图1,求证:△ABE∽△ECF;图1
(2)如图1,找出与△ABH相似的三角形,并证明;图1
(3)如图2,若点E是BC的中点,BC=2AB,AB=2,求EM
的长.图2
【思路导航】(1)易知∠ABE=∠ECF=90°,要证明△ABE
∽△ECF,只需要再找一组对应角相等即可;(2)找出图中与
∠ABH,∠BAH相等的角,进而可找出与△ABH相似的三角
形;(3)首先作MR⊥BC,垂足为R,由相似三角形,可求得
MR,ER的长,再由勾股定理即可求得EM的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABE=∠ECF=90°.∵EF⊥A
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