2024年高中数学(选择性必修第二、三册)精品讲义7.4二项分布与超几何分布(学生版+解析).docxVIP

二项分布与超几何分布

1二项分布

①n重伯努利试验

（1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳性或阴性；

（2）将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验,

（3）n重伯努利试验具有如下共同特征

第一：同一个伯努利试验重复做n次；第二：各次试验的结果相互独立；

②二项分布

(1)概念

一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1),用X表示事件A

P

此时称随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p),并称p为成功概率.

随机变量X的分布列如下

X

0

1

?

k

?

n

P

C

C

?

C

?

C

(其中q=1?

由二项定理,可得

k=0

这也许是这分布为什么叫做二项式定理的原因吧！

（2）案例(二项分布可以用下例理解下)

小明投篮命中率是13,那他投5次恰好中2次的概率p是

解析：小明投5次,如下图,他只中了2次,

问：那他是哪两次中了？

答：共有C5

问：那他每种情况的概率是相等的么？

答：是的,每次投篮都是独立事件,每种情况都是中2次不中3次,那概率是13

那所求概率p=C

③二项分布的期望与方差

一般地,如果X～B(n,p),那么E

下面对期望进行证明

证明令q=1?p,由k

E

令k?1=m,

E

2超几何分布

①概念

一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品,从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为：

P

其中n,M,N∈N

如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.

②案例(超几何分布可以用下例理解下)

10个产品中有6个优品,4个次品,从10个产品中抽出5个恰好有2个次品的概率p是

解：利用古典概型的公式P(A)=

那所求概率事件中“样本空间Ω的样本点个数”为C105(10个产品抽5个,不管有多少个次品),而“5个恰好有2个次品”意味着“事件A的样本点个数”为C63C42

这题是超几何分布,“抽5个产品有2个次品”的潜台词可理解是“一次性拿5个产品,不放回抽样”的.

③超几何分布的期望

设随机变量X服从超几何分布,则EX

证明令=max

E

因为k=mr

E

注：超几何分布的模型是不放回抽样

④二项分布与超几何分布的关联

(1)已知10个产品中有6个次品,分别采取放回和不放回的方式随机抽取的4件产品,次品数为X,求随机变量X

若采取放回的方式,则每次抽到次品的概率为0.6,且各次抽样的结果相互独立,则X服从二项分布,即X~B(4,0.6)

若采取不放回的方式,虽然每次抽到次品的概率为0.6,但每次抽取不是同一个试验,各次抽取的结果也不独立,不符合n重伯努利试验的特征,因此X

(2)二项分布和超几何分布都是可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律,并且两者的均值相同,对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时超几何分布可以用二项分布近似.

【题型一】二项分布与超几何分布的概念

【典题1】下列随机变量ξ服从二项分布的是()

①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；

②某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ

③有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用有放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数(MN)

④有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数(MN)

A．②③ B．①④ C．③④ D．①③

【典题2】袋中有8个白球,2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球,求

(1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列；

(2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列.

【典题3】某篮球运动员每次投篮投中的概率是45,每次投篮的结果相互独立,那么在他10次投篮中,记最有可能投中的次数为m,

A．5 B．6 C．7 D．8

巩固练习

1(★)下面随机变量X的分布列不属于二项分布的是()

A．据中央电视台新闻联播报道,一周内在某网站下载一次数据,电脑被感染某种病毒的概率是0.65,设在这一周内,某电脑从该网站下载数据n次中被感染这种病毒的次数为

B．某射手射击击中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,从开始射击到击中目标所需要的射击次数为

C．某射手射击击中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,射击n次命中目标的次数为

D．位于某汽车站附近有一个加油站,汽车每次出站后到这个加油站加油的概率为0.6,国庆节这一天有50辆汽车开出该站,假设一天里汽车去该加油站加油是相互独立的,去该加油站加油的汽车数为X

2(★)有6个大小