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第四章三角函数与解三角形4.4三角函数的图象与性质
考点一三角函数的定义域、值域
例1
(1)函数y=16-
A.R B.[0,π] C.[-
解:由题意,得16-x2
由16-x2
由sinx≥0,得2k
所以-4≤x
所以函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π]
(2)【多选题】下列函数中,最大值M满足M≥1的是(
A.y=2
C.y=-sin
解:对于A,当sin2x=1时,y
对于B,y=2sinx-cosx=
对于C,y=1-sin2x+
对于D,y=cosxtanx=cosx?sinxcosx=sinx
故选AB.
【点拨】求三角函数的定义域事实上就是解最简洁的三角不等式(组).三角函数值域的求法:①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数,可先化为
变式1
(1)函数y=tan2x
A.-∞,
B.0
C.(0,π4
D.{
解:由已知,可得2x≠π2+k
解得x≠π4+k
所以函数的定义域是(0,π4)∪(
故选C.
(2)函数fx=sinx-cos2x
A.-12 B.12 C.
解:fx
令t=sinx,则
对称轴为t=-
因为抛物线y=
所以当t=-12时,y=t+t2-1
考点二三角函数的周期性
例2求下列函数的最小正周期.
(1)y=
解:由题意,知T=2π
(2)y=sin
[答案]
y=sin
该函数的最小正周期为T=
(3)y=
[答案]由图象变换规则,知y=sinx-π
【点拨】求三角函数周期的方法:①利用周期函数的定义.②利用公式y=Asinωx+φ和y=Acosωx+φ的最小正周期为2πω,y=Atanωx+
变式2
(1)【多选题】下列函数最小正周期为π的是(AC)
A.y=cos2x
C.y=cos2x
解:A中,y=cos2x=cos2x,最小正周期T=2π
故选AC.
(2)设fn=cos(nπ2
解:由fn=cosnπ2+π4,可知fn是周期T=4
则f1+f2
考点三三角函数的奇偶性
例3
(1)推断下列函数的奇偶性.
①fx
解:fx
=-sin
因为f-x=cos-x
②fx
[答案]因为2sin2x-1≥0,所以sin2x≥1
③fx
[答案]
由cos2x≠0,得2x≠kπ+π2,k∈Z,解得x≠
因为fx
f-
=6
所以fx
(2)函数fx=sinx
A. B.
C. D.
解:函数fx的定义域为-∞,-1∪1,+∞.由f-x=sin-
f2=sin2×ln13
【点拨】①推断三角函数的奇偶性时,必需先检查定义域是否关于原点对称.假如是,再验证f-x是否等于-fx或fx,进而推断函数的奇偶性;假如不是,则该函数必为非奇非偶函数.另外,对较困难的解析式,可选择先化简再推断,也可干脆用-x取代x,再化简推断,还可利用f-
变式3
(1)下列函数中,最小正周期为π且为偶函数的是(C)
A.y=sinx+π4 B.
解:对于A,y=sinx+π4
对于B,y=tanx为奇函数,故
对于C,y=cos2x的最小正周期T=
对于D,y=sin2x为奇函数,故D错误.故选C
(2)已知函数fx=2x
解:依题意,得fx=2
.由fx为偶函数,得?x∈R,fx-f-x=0.则2x-a
考点四三角函数图象的对称性
例4求函数y=sin
解:设t=2x-π6,则函数y=sint图象的对称中心为kπ,0,k
函数y=sint图象的对称轴方程为t=π2+kπ,k∈
所以y=sin2x-π6图象的对称中心为(kπ2+
【点拨】①求函数图象的对称轴方程或对称中心坐标时,可利用整体换元法进行求解,留意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式.②推断某始终线、某一点是否为三角函数图象的对称轴、对称中心时,可依据对称轴确定经过图象的最高点或最低点,对称中心确定是函数图象与x轴的交点(当三角函数图象并未向上或向下平移时)这一性质进行检验推断.
变式4【多选题】已知函数fx=cos2x
A.fx的图象关于点(π6,0)对称 B.
C.fx+π
解:对于A,因为fπ6=cosπ2=0,所以f
对于B,由fπ6=0≠±1,知
对于C,由fx+π6=cos
对于D,因为f0≠±1,所以fx不为偶函数,故D
考点五三角函数的单调性
例5求下列函数的单调递减区间.
(1)y=cos
解:y=cos-2x+π3=cos2x-π3.由2kπ≤2x
(2)y=
[答案]y=3tanπ6-x4=-3tanx4-π
【点拨】求函数的单调区间应遵循简化原则,将解析式先化简,并留意复合函数单调性“同增异减”的规律,即视“ωx+φ”ω0为一个整体,依
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