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第23讲抛物线及其标准方程5种常见考法归类
1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.
知识点1抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的
焦点,直线l叫做抛物线的准线.
注:①在抛物线定义中,若去掉条件“l不经过点F”,点的轨迹还是抛物线吗?
不一定是,若点F在直线l上,点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
②定义的实质可归纳为“一动三定”
一个动点M;一个定点F(抛物线的焦点);一条定直线(抛物线的准线);一个定值(点M到点F的距离
与它到定直线l的距离之比等于1).
知识点2抛物线标准方程的几种形式
图形标准方程焦点坐标准线方程
2pp
y=2px(p0),0x=-
22
2px=p
y=-2px(p0)-,0
22
2pp
x=2py(p0)0,y=-
22
2pp
x=-2py(p0)0,-y=
22
注:1、抛物线方程的推导:
我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合,建立平面
p,0
p
直角坐标系Oxy.设|KF|=p(p0),那么焦点F的坐标为2,准线l的方程为x=-.
2
设M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义,抛物线是点的集合P={M||MF|
=d}.
x-px+p
则M到F的距离为|MF|=2+y2,M到直线l的距离为||,
22
x-px+p
所以2+y2=||,
22
2
将上式两边平方并化简,得y=2px(p0).
2、p的几何意义是焦点到准线的距离.标准方程的结构特征:顶点在坐标原点、焦点在坐
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