第1节　直线的方程.docx

第1节直线的方程

考试要求1在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系

1直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；

(2)规定：当直线l与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；

(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)

2直线的斜率

(1)定义：当直线l的倾斜角α≠eq\f(π,2)时，其倾斜角α的正切值tanα叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母表示，即＝tanα

(2)计算公式

①经过两点P1(1，y1)，P2(2，y2)(1≠2)的直线的斜率＝eq\f(y2－y1,2－1)

②若直线的方向向量为a＝(，y)(≠0)，则直线的斜率＝eq\f(y,)

3直线方程的五种形式

名称

几何条件

方程

适用条件

斜截式

纵截距、斜率

y＝＋b

与轴不垂直的直线

点斜式

过一点、斜率

y－y0＝(－0)

两点式

过两点

eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(－1,2－1)

与两坐标轴均不垂直的直线

截距式

纵、横截距

eq\f(,a)＋eq\f(y,b)＝1

不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线

一般式

A＋By＋＝0(A2＋B2≠0)

所有直线

1直线的倾斜角α和斜率之间的对应关系：

α

0

0αeq\f(π,2)

eq\f(π,2)

eq\f(π,2)απ

0

0

不存在

0

2截距和距离的不同之处

“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数

1思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()

(2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α()

(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()

(4)经过任意两个不同的点P1(1，y1)，P2(2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(2－1)＝(－1)(y2－y1)表示()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

解析(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率1＝－1，2＝1，1＜2

(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°

(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等

2(易错题)若直线＝2的倾斜角为α，则α的值为()

A0 Beq\f(π,4) eq\f(π,2) D不存在

答案

解析因为直线＝2垂直于轴，所以倾斜角α＝eq\f(π,2)

3(2022·菏泽模拟)若过点(－2，)，N(，4)的直线的斜率等于1，则的值为()

A1 B4

1或3 D1或4

答案A

解析由题意得eq\f(－4,－2－)＝1，解得＝1

4(2021·兰州模拟)已知直线l过点P(1，3)，且与轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是()

A3＋y－6＝0 B＋3y－10＝0

3－y＝0 D－3y＋8＝0

答案A

解析设直线l的方程为eq\f(,a)＋eq\f(y,b)＝1(a0，b0)

由题意得eq\b\l\{(\a\vs4\al\1(\f(1,a)＋\f(3,b)＝1，,\f(1,2)ab＝6，))解得eq\b\l\{(\a\vs4\al\1(a＝2，,b＝6))

故直线l的方程为eq\f(,2)＋eq\f(y,6)＝1，即3＋y－6＝0

5(2021·郑州质检)过点P(2，－3)且倾斜角为45°的直线的方程为

答案－y－5＝0

解析倾斜角45°的直线的斜率为tan45°＝1，又经过点P(2，－3)，∴直线方程为y＋3＝－2，即－y－5＝0

6(易错题)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为

答案3－2y＝0或＋y－5＝0

解析当截距为0时，直线方程为3－2y＝0；

当截距不为0时，设直线方程为eq\f(,a)＋eq\f(y,a)＝1，

则eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，解得a＝5

所以直线方程为＋y－5＝0

考点一直线的倾斜角与斜率

例1(经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为

答案(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)

解析法一设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是AP＝1，直线PB的斜率是BP＝－eq\r(3)，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置P时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为